Resolviendo una ecuación trascendental que consiste en una parte cuadrática y una parte que involucra funciones Lambert W inversas

Question

Declaración de la pregunta

Me gustaría resolver la siguiente ecuación en las dos variables $x$ e $y$: \begin{gather} 0 = x^2 - a y^2 + i b [x y - W^{-1}(x)W^{-1}(y)] , \end{gather} donde $a$ y $b$ son parámetros puramente reales, y $W^{-1}(x)$ es la función inversa Lambert W de $x$. Existen restricciones de dominio debido a la fisicalidad: para todas las soluciones físicas $y$ es puramente imaginario, y para algunas soluciones físicas $x$ es puramente imaginario.

Intento de respuesta

Pon la ecuación anterior en la forma alternativa así: \begin{gather} 0 = x^2 - a y^2 + i b x y (1 - e^x e^y) . \end{gather} Luego, por inspección (separar términos en pares), tenemos al menos las soluciones \begin{gather} \begin{aligned} \text{(i)}&\text{ } x = \sqrt{a} y \text{ y } y = \frac{2 i n \pi}{1 + \sqrt{a}} \text{, donde } n \in \mathbb{Z} \text{,}\\ \text{(ii)}&\text{ } x = - \sqrt{a} y \text{ y } y = \frac{2 i n \pi}{1 - \sqrt{a}} \text{, donde } n \in \mathbb{Z} \text{,}\\ \text{(iii)}&\text{ } x = - i b y \text{ y } y = \frac{\operatorname{Log}(- a / b^2)}{1 - i b} \text{, y}\\ \text{(iv)}&\text{ } x = - i \frac{a}{b} y \text{ y } y = \frac{\operatorname{Log}(- a / b^2)}{1 - i (a / b)} . \end{aligned} \end{gather} El método de este intento de respuesta obviamente no es general; por lo tanto, publico. Podría preguntar más específicamente: ¿Podemos demostrar que (i) a (iv) son las únicas soluciones? y si no, ¿hay un método más elegante que derive todas las soluciones?

Gracias

Extiendo sincero agradecimiento por cualquier ayuda.

Answer 1

Utilizando la idea básica detrás del método del balance dominante puedo obtener una buena aproximación para las soluciones mencionadas en mi comentario.

Sea $a>0$, $b>0$, y $y=(2n+1)\pi i$. Al expandir los paréntesis, la ecuación se convierte en

$$ a\pi^2 + 4 a \pi^2 n + 4a\pi^2 n^2 - b\pi x + x^2 - b\pi xe^x - 2b\pi nx - 2b\pi nxe^x = 0. \tag{1} $$

Númericamente parece que conforme $n \to +\infty$ la raíz $x$ también tiende a $+\infty$, así que vamos a asumir esto. Entonces, los dos términos más grandes en la ecuación son $4a\pi^2 n^2$ y $-2b\pi nxe^x$, por lo que conforme $n \to \infty$ la ecuación es aproximadamente la misma que

$$ 4a\pi^2 n^2 - 2b\pi nxe^x = 0 $$

o, dividiendo por $2\pi n$,

$$ 2a\pi n - bxe^x = 0. $$

Esto tiene una solución explícita

$$ x = W(2\pi n a/b), \tag{2} $$

la cual parece dar una buena aproximación para las soluciones de $(1)$ conforme $n \to +\infty$. Esta aproximación parece mejorar cuando la razón $a/b$ es grande.

Si deseas, puedes obtener una aproximación de orden líder más elemental utilizando la asíntota conocida

$$ W(q) \approx \log q - \log \log q + \frac{\log \log q}{\log q} + \cdots $$

conforme $q \to \infty.

Númericamente.

Tomemos $a=b=1$. En los gráficos siguientes, $n$ está en el eje horizontal.

Los puntos azules en este gráfico son las soluciones númericas de $(1)$ para $x$ cuando $n=1,2,\ldots,40$ y la línea negra es la solución asintótica $(2)$ que obtuvimos.

Este segundo gráfico muestra el error absoluto entre las soluciones númericas de $(1)$ y la solución asintótica $(2)$ para $n=10,11,\ldots,5\times 10^4$. El eje $n$ está representado con una escala logarítmica para mayor claridad.