Sine y coseno infinitamente concatenados

Question

Usando una calculadora gráfica, si uno concatena el seno y el coseno repetidamente, es decir

ps

el gráfico parece acercarse a una línea horizontal, lo que sugiere que en la concatenación infinita, hay un único valor de la función para todos$$y=\sin(\cos(\sin(\cos(x))))$. ¿Es esto correcto? Si es así, ¿se conoce este valor?

Answer 1

Este es un ejemplo de un atractivo punto fijo.

Un punto fijo de la función $x\mapsto \sin(\cos(x))$ es un número $x_0$ satisfacción $x_0 = \sin(\cos(x_0))$, es decir, el número, se puso en el mismo número que salga. Un atractivo punto fijo es uno para el cual, si $x$ es lo suficientemente cerca de a$x_0$, $\sin(\cos(x))$ está aún más cerca de $x_0$, y puede hacerse tan cerca como se desee por recorrer en el proceso de un número suficientemente grande de veces. En este caso, "suficientemente" cerca parece incluir todos los números en el dominio.

El Banach de punto fijo teorema es aplicable aquí. La derivada de $x\mapsto\sin(\cos(x))$ es limitada en términos de valor absoluto de un número menos de $1$; de que se sigue de la media del teorema del valor que esta es una asignación de contracción. Y el espacio es completo, es decir, cerrado bajo los límites de secuencias de Cauchy. Por lo tanto el teorema es aplicable. El teorema dice que cada función para la que es aplicable tiene exactamente un atractivo punto fijo.

De hecho, si usted dibuje la gráfica de $y=\sin(\cos(x))$ e de $y=x$, se ve que no se intersecan exactamente una vez, y el $x$coordenadas del punto de intersección es el punto fijo.

Answer 2

Teniendo en cuenta la concatenación infinita y escribiendo$y$ como$$y=\sin(\cos(y))$ $

Wolfram Alpha da la solución para ser una constante a saber$$0.694819690731$ $