¿Qué probabilidad le asignarías a la victoria de India?

Question

Karan dice la verdad con una probabilidad de $\frac 13$ y se encuentra con una probabilidad de $\frac 23$. De forma independiente, Arjun dice la verdad con una probabilidad de $\frac 34$ y se encuentra con una probabilidad de $\frac 14$. Ver un partido de cricket. Arjun le dice que la India ganó, Karan le dice que la India perdió. ¿Qué probabilidad se asigna a la India ganar?

$(a) \frac 12$

$(b)\frac 23$

$(c)\frac 34$

$(d)\frac 56$

$(e)\frac 67$

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Según yo, la respuesta debería ser $\frac 12$ i.e opción $(a)$

Arjun dijo: India ganó,

Karan dijo: India perdido,

La probabilidad de la India ganó = Probabilidad de que Arjun le dijo la verdad a$(=\frac 34)$ & Karan mentido$(= \frac 23)$

Así que la probabilidad de que la India ganó = $\frac 34\times\frac 23 =\frac 12$. Es correcto?

Answer 1

Supongamos que la India ganó. En ese caso, la probabilidad de que Arjun dijo que la India ganó el es $\frac34$, y la probabilidad de que Karan mentido es $\frac23$, por lo que si la India ganó, la probabilidad de que el observado declaraciones es $\frac34\cdot\frac23=\frac12$.

Ahora supongamos que la India perdió, por lo que Arjun es la mentira, y Karan está diciendo la verdad. Por lo tanto, si la India perdió, la probabilidad de que el observado declaraciones es $\frac14\cdot\frac13=\frac1{12}$.

Como se puede ver, estamos mucho más probabilidades de obtener la observada declaraciones si la India ganó de lo que somos, si la India perdido. Por lo tanto, la probabilidad de que la India ganó debe ser, seguramente, más de $\frac12$. De hecho teorema de Bayes dice que la probabilidad de que la India ganó es la fracción del total de la probabilidad de $\frac12+\frac1{12}$ es aportado por el primer caso, es decir,

$$\frac{\frac12}{\frac12+\frac1{12}}=\frac67\;.$$