¿Cómo está definido el concepto de $C^1$-cierre subvariedades?

Question

La cuestión es que ya en el título.

De la lectura de algunos artículos he de encontrar afirmaciones como la siguiente, con ningún recordatorio acerca de la noción de $C^1$-closedness, y sin referencias para otras lecturas.

Deje $\pi:E\to S$ ser un vector paquete. Incrustar $S$ a $E$ a través de la sección cero de $\pi$. Si un submanifold $M\subseteq E$ $C^1$- cerca de las $S$,$M=\sigma(S)$, para algunos la sección $\sigma$.

He buscado una referencia, y/o la definición de $C^1$-closedness para submanifolds, pero no he tenido éxito en la búsqueda.

Answer 1

Creo que no hay una definición estándar, he aquí una posible definición:

Dos cerrados submanifolds $M_1, M_2$ de un colector $N$ $C^1$-$\epsilon$-cerrar si no existe $C^1$-incrustaciones $f_i: M\to N, i=1, 2$ que $f_i$ es un diffeomorphism a $M_i$ $df_i: TM\to TN$ $\epsilon$- cerca de la topología de la convergencia uniforme, $i=1,2$. (Usted tiene que poner métricas de Riemann en $M$ $N$ hacer sentido de esta. Si no te gusta el uso de métricas de Riemann, usted tiene que trabajar con compacto-abierta de la topología. Esto también le permitirá colocar el supuesto de que $M_i$'s están cerrados los colectores. Un colector cerrado si es compacto y tiene vacíos límite.)