El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace en el cubo de la unidad

Question

Aquí está la pregunta:

Nos da la ecuación de laplace $\Delta u=0$$Q:=(0,1)\times(0,1)$.

P1: ¿cuáles son algunas de las condiciones que usted puede poner en este para obtener la singularidad/existencia?

P2: ¿Qué si quería recetar $u(x,0)=f(x)$$u_y(x,0)=g(x)$$[0,1]\times\{0\}$? ¿Qué acerca de la existencia y unicidad?

Para Q1 yo simplemente puse $u(x,y)=f(x,y)$ sobre el límite de $Q$, y requerimos que $f$ es continua en a $\partial Q$. Por lo tanto, por Perron método, tenemos que tanto la existencia y unicidad de $u$.

Pero me quedé en la Q2. Esto se ve, para mí es un problema de Cauchy, o parte de ella... Pero de todos modos, aquí es lo que he intentado hasta ahora.

Por simplicidad, suponga $f$ $g$ todos los $C^\infty$, y definir una nueva función $\bar{g}$ tal que $g=\bar g$ $[0,1]\times \{0\}$ y $$ \int_{\partial Q}\bar g \,d\mathcal H^1=0 $$ así que al menos yo coincida con el requisito de $u$ la solución de $\Delta u=0$$Q$.

Mi siguiente trabajo es definir $\bar f$ $\partial Q$ tal que $f=\bar f$$[0,1]\times \{0\}$, por lo que podría utilizar, tal vez Perron de nuevo, para resolver esta ecuación. Sin embargo, una vez $\bar f$ es fijo, a continuación, $u$ se determina de acuerdo completamente por $\bar f$ y por lo tanto no puedo controlar lo que es $u_y(x,0)$, se determina de acuerdo al $f$ pero no $g$...

Supongo que puede ser que debo construir algunos de especial$\bar f$, de modo que $\bar f$ está de algún modo relacionado a $g$? No estoy seguro... por Favor, ayúdame aquí!

También, ¿qué acerca de la unicidad? En mi opinión, si tenemos una solución, entonces esta solución tiene que ser único. Este es el hecho de que si $u=\partial_\nu u =0$ sobre la parte lisa de la frontera, a continuación,$u\equiv0$. En realidad, este es un ejercicio que uno puede encontrar en Gilbert y Trudinger.

Answer 1

La singularidad

Para mostrar la singularidad tiene en la Q2, que es suficiente para demostrar que sólo el cero de la función coincide con la condición de contorno $u=u_y=0$. Un armónico de la función puede ser reflejado a través de un segmento de línea donde se desvanece, por $u(x,-y)=-u(x,y)$. De hecho, este conserva el local significa que el valor de la propiedad, tanto en el límite y fuera de ella. Ahora tenemos un armónico de la función en $(0,1)\times (-1,1)$ tanto $u$ $u_y$ desaparecen en $(0,1)\times \{1\}$; por lo tanto $u_x=0$. Una forma rápida para terminar la prueba es invocar el análisis complejo: $u_x-iu_y$ es holomorphic y se desvanece en un segmento de línea, por lo tanto es idéntica a cero.

(No debe ser una prueba de que funciona en las dimensiones superiores, pero no puedo pensar en eso ahora.)

Existencia

Para mostrar la existencia falla en la Q2, también puede utilizar la reflexión argumento desde arriba. Si hay una solución con $f\equiv 0$, $g$ es una restricción de una función armónica de un segmento de línea en el interior de su dominio, por lo tanto $g$ debe ser real-analítica. Así, la existencia falla para cualquier espacio que permite a los no-funciones analíticas.

Otro enfoque es considerar un pequeño rectángulo $[0,1]\times [0,1/2]$ y resolver el problema de Dirichlet no con los no-suave de datos en el borde superior. A continuación, tome $f(x)=u(x,0)$$g(x)=u_y(x,0)$. Si no encontraba la solución, $v$ con estos datos, luego por la unicidad $u\equiv v$. Pero, a continuación, $u$ tiene una suave extensión más allá de $[0,1]\times [0,1/2]$, una contradicción.