Convergencia en $(a,b)$ pero no en $[a,b]$.

Question

Supongamos que $f_n(x)\to 0$ punto-sabio $(a,b)$, pero que $f_n(x)$ no converge a una función cuando $x=a$ o $x=b$, porque $f_n(x)$ oscila en estos puntos.

Además, supongamos que $|f_n(x)|\le g(x)$ $[a,b]$.

En este caso, aún así es correcto decir $$\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\mathrm{d}x=\inta^b\lim{n\to\infty}f_n(x)\mathrm{d}x=0\ ?$ $

Sé casi en todas partes tenemos convergencia, sin embargo no estoy seguro acerca de la igualdad anterior desde $f_n(x)$ no converge en absoluto cuando $x=a$ o $x=b$.

Answer 1

Sí, es el caso. (Suponiendo que el $g$ es integrable, por supuesto).

Definir $(\tilde{f}_n)_n$ mediante el establecimiento de $$\tilde{f}_n(x) = \begin{cases} f_n(x) & x\in(a,b)\\ 0 & x\in\{a,b\} \end{casos}$$ A continuación, $(\tilde{f}_n)_n$ todavía convergen pointwise a $0$,, y todavía tenemos $\lvert \tilde{f}_n(x)\rvert \leq g(x)$ todos los $n\geq 0$$x\in[a,b]$. Por lo que podemos utilizar el Teorema de Convergencia Dominada en $(\tilde{f}_n)_n$ para obtener $$ \lim_{n\to\infty }\int_a^b \tilde{f}_n = \int_a^b \lim_{n\to\infty } f_n = 0. $$

Sólo queda observar que para todos los $n\geq 0$, $\int_a^b f_n = \int_a^b \tilde{f}_n$ a la conclusión de que, para todos los $n\geq 0$, $$ \int_a^b f_n = \int_a^b \tilde{f}_n\xrightarrow[n\to\infty]{} 0. $$