¿Cómo derivar la entropía de la densidad de los estados?

Question

Estoy tratando de derivar la entropía de un agujero negro, dada la densidad de estados de un bosón (los detalles no son relevantes). La densidad de los estados es

$$ \omega (E) = E^ \alpha e^{ \beta E} $$

La entropía se define como

$$ S = k \ln \Omega , $$

donde $ \Omega $ es el número de microestados.

Supongo que el número de microestados en el intervalo de energía $(E,E+ \delta E)$ sería ser $ \delta \Omega = \omega \delta E$ . Así que el aumento de la entropía es

$$ \delta S = k \ln { \omega \delta E} = k \ln (E^ \alpha e^{ \beta E} \delta E),$$

lo cual no puede ser correcto porque según la ecuación $11.9.4$ en http://arxiv.org/abs/1506.07798 , debería estar (en el alto límite de energía, que ignora la contribución de potencia en $E$ )

$$ \delta S = k \beta \delta E.$$

Entonces, ¿cuál es la forma correcta de derivar la entropía de la densidad de los estados?

Parece que $ \delta S = k \ln \omega ( \delta E) $ funcionaría, pero implica un logaritmo de un cantidad con dimensiones.

Answer 1

$$S=k \ln [\Omega(E)] = k \ln [\omega (E) \delta E] = k \ln [\omega(E)] +k \ln (\delta E)$$

El último término es una constante arbitraria, por lo que podemos establecer

$$S = k \ln[\omega (E)]$$

de la cual

$$\delta S = k \frac{\delta \omega}{\omega}$$

Si podemos ignorar la contribución de la potencia y establecer $\omega (E) \simeq e^{\beta E}$ obtenemos

$$\delta S = k \frac{\delta(e^{\beta E})}{e^{\beta E}} = k \frac{\beta \ e^{\beta E} \delta E}{e^{\beta E}} = k \ \beta \delta E$$

Más sobre la entropía y la densidad de estados: aquí .

Answer 2

Como señala @valerio92, su error es que $S = k \ln (\omega\, \delta E)$ no $\delta S$ . Para obtener $\delta S$ se diferencia la expresión de la derecha para obtener $\delta S = k \frac{\delta \omega}{\omega}$ y el $\delta E$ y se obtiene una expresión con las dimensiones correctas. La notación es un poco engañosa, porque el $\delta$ en el $\delta E$ es no un diferencial correspondiente al $\delta$ en el $\delta S$ - sólo denota que debemos pensar en $\delta E$ como una pequeña cantidad constante. Una vez diferenciada la expresión para $S$ el "diferencial" $\delta$ en realidad termina en el $\omega$ que es la cantidad variable real.