Las raíces del cubo escapan

Question

$ \sqrt{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}} \times 3 = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c}, $

donde$ a, b $ y$ c $ son enteros positivos. ¿Cuál es el valor de$ a+b+c $?

Esta pregunta apareció en uno de mis exámenes

Answer 1

Usted puede comprobar la siguiente expresión funciona por el cuadrado de la derecha $$ \sqrt{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}} \times 3 = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{25} \, . $$ Por lo $ a + b + c = 47 $.

Como para encontrarlo: es inicialmente una buena idea para tratar de trabajar en el campo de la extensión de $ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{5}) = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{5}) $, que tiene una base dada por $$ \{ 1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{1\times5}, \sqrt[3]{2\times5}, \sqrt[3]{4\times5}, \sqrt[3]{1\times25}, \sqrt[3]{2\times25}, \sqrt[3]{4\times25} \} \, . $$

A continuación, usted desea considerar la ecuación $$ 3\sqrt{\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4}} = r + s \sqrt[3]{2} + t \sqrt[3]{4} + u \sqrt[3]{5} + v \sqrt[3]{10} + w \sqrt[3]{20} + x \sqrt[3]{25} + y \sqrt[3]{50} + z \sqrt[3]{100} \, , $$ with $ r, \ldots, z \in \mathbb{Q} $. In particular you want $ r, \ldots, z \in \{ -1, 0, 1 \} $ with exactly three of them non-zero. Square both sides, and compare the coefficient of $ \sqrt[3]{5} $ and $ \sqrt[3]{4} $ en ambos lados. Tenemos \begin{align} \sqrt[3]{5} &: \quad 9 = 5x^2 + 2ru + 4tv + 4sw + 20yz \\ \sqrt[3]{4} &: \quad -9 = s^2 + 2rt + 10wx + 10vy + 10uz \, . \end{align}

Se ha asumido que todos los no-cero de los coeficientes se $ \pm 1 $, por lo que debemos tener $ x = \pm 1 $$ s = \pm 1 $, por la paridad de consideraciones. Por supuesto, hay sólo 3 distinto de cero los coeficientes, $ s, x $ y de uno a otro. Por lo $ ru = tv = yz = 0 $ $ rt = vy = uz = 0 $ y las ecuaciones se reducen a \begin{align} \sqrt[3]{5} &: \quad 9 = 5x^2 + 4sw \\ \sqrt[3]{4} &: \quad -9 = s^2 + 10wx \, . \end{align}

Debemos tener $ sw = 1 $$ wx = -1 $, lo $ s = w = -x $. Esto nos da dos posibilidades de tomar $ x = 1 $ o $ x = - 1 $. La forma de la solución que está buscando tiene dos $ +1 $ de los coeficientes. Esto debe venir de $ x = -1 $, y se $$ \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{25} $$

Ahora lo que necesita para volver atrás y comprobar esta realidad hace el trabajo como una solución, porque hemos hecho muchas suposiciones en la búsqueda de ella. En particular, hemos asumido que tal solución existe y vive en $ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{5}) $, en lugar de algunos de los más grandes de extensión de campo. Y solo se han utilizado dos ecuaciones que provienen de la comparación de los coeficientes; el resto también el trabajo?

Answer 2

Dejar

$ x^3=5$

$ y^3=4$

$ 9\sqrt{\strut x-y}$

$ =(x^3+y^3)\sqrt{\strut x-y}$

$ =(x^2-xy+y^2)\sqrt{\strut(x-y)(x+y)^2}$

$ =(x^2-xy+y^2)\sqrt{\strut x^3+x^2y-xy^2-y^3}$

Ahora podemos sustituir el valor ya

$ =(\sqrt[3]{\strut 25}-\sqrt[3]{\strut 20}+\sqrt[3]{\strut 16})\sqrt{\strut 5+\sqrt[3]{\strut 100}-\sqrt[3]{\strut80}-4}$

$ =(\sqrt[3]{\strut 25}-\sqrt[3]{\strut 20}+\sqrt[3]{\strut 16})\sqrt{\strut \sqrt[3]{\strut 10}^2-2\sqrt[3]{\strut10}+1}$

$ =(\sqrt[3]{\strut 25}-\sqrt[3]{\strut 20}+\sqrt[3]{\strut 16})\sqrt{\strut (\sqrt[3]{\strut 10}-1)^2}$

$ =(\sqrt[3]{\strut 25}-\sqrt[3]{\strut 20}+\sqrt[3]{\strut 16})(\sqrt[3]{\strut 10}-1)$

$ =\sqrt[3]{\strut 250}-\sqrt[3]{\strut 200}+\sqrt[3]{\strut 160}-\sqrt[3]{\strut 25}+\sqrt[3]{\strut 20}-\sqrt[3]{\strut 16}$

$ =5\sqrt[3]{\strut 2}-2\sqrt[3]{\strut 25}+2\sqrt[3]{\strut 20}-\sqrt[3]{\strut 25}+\sqrt[3]{\strut 20}-2\sqrt[3]{\strut 2}$

$ =3\sqrt[3]{\strut 2}-3\sqrt[3]{\strut 25}+3\sqrt[3]{\strut 20}$ Por lo tanto,$ 3\sqrt{\strut \sqrt[3]{\strut 5}-\sqrt[3]{\strut 4}}$

$ =\sqrt[3]{\strut 2}-\sqrt[3]{\strut 25}+\sqrt[3]{\strut 20}$