¿Por qué es irreducible un esquema conexo liso?

Question

¿Por qué un esquema conexo liso (digamos sobre un campo) es necesariamente irreducible?

Intuitivamente tiene sentido porque podríamos muy bien esperar que los puntos en la intersección de dos componentes irreducibles sean puntos singulares.

Pero, ¿qué es una prueba? Siéntase libre de añadir cualquier hipótesis adicional si es necesario (por ejemplo, separado si es necesario).

Answer 1

Los anillos locales de un esquema suave sobre un campo son regulares, y un anillo local regular es un dominio. Por tanto, un esquema suave sobre un campo tiene todos los anillos locales que son dominios. Por tanto, la intersección de dos componentes cualesquiera debe estar vacía (un punto situado en la intersección no tendría su anillo local siendo un dominio).