Calcular $$\int\limits_{0}^{19}\frac{1}{(x+8)x^{\frac{1}{3}}(19-x)^{\frac{2}{3}}} \, dx$$
Deje $f(z) = \frac{1}{(z+8)(z^{\frac{1}{3}})(19-z)^{\frac{2}{3}}}$ donde$\sqrt[3]{z}$$-\pi \leq \arg z < \pi$$\sqrt[3]{(19-z)}$$0 \leq \arg(19-z) < 2\pi$. Considere la posibilidad de la "salchicha" de contorno $\gamma$:
Deje $\gamma_{\varepsilon}$ denotar la línea sobre el eje real y $\gamma_{-\varepsilon}$ a continuación, tanto de la longitud de la $19$. Deje $\gamma_{n}$ e e $\gamma_{m}$ denotar la izquierda y la derecha semicírculos, tanto de radio $\varepsilon$. Los polos de interés en $z=0$ y a las $z=-19$. Podemos calcular por el teorema de los residuos que $$\oint_{\gamma}f(z) \, dz = 0 $$ No estoy realmente seguro de a dónde ir desde aquí. Estoy teniendo problemas para seguir el ejemplo en la Wikipedia que cubre este tipo de integral, porque no me creo entender cortes de ramas que bien. En la parte superior de que, por ejemplo, hace uso de los residuos en el infinito. No estoy seguro de por qué eso sería más fácil. Sólo nos informó hablado en clase y el profesor dijo que no la necesitamos para cualquiera de los problemas, esta incluye.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si uno desea renunciar a la evaluación de la integral de interés mediante el uso de los residuos en el infinito, se puede proceder como sigue.
Puesto que sólo hay una singularidad fuera de la región delimitada por el contorno cerrado $\gamma$, que es un simple poste de $z=-8$, se puede deformar el contorno de un círculo de radio de $R>19$.
Luego, con los cortes de ramas elegido de manera que $-\pi \le \arg(z)< \pi$ $0\le \arg(19-z)<2\pi$ hemos
$$\begin{align} \oint_{\gamma}\frac{1}{(z+8)z^{1/3}(19-z)^{2/3}}\,dz&=\oint_{|z|=R}\frac{1}{(z+8)z^{1/3}(19-z)^{2/3}}\,dz\\\\ &-2\pi i\text{Res}\left(\frac{1}{(z+8)z^{1/3}(19-z)^{2/3}}, z=-8\right)\\\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{1}{(Re^{i\phi}+8)R^{1/3}e^{i\phi/3}(19-Re^{i\phi})^{2/3}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\\\\ &-2\pi i\left(\frac{1}{(-8)^{1/3}(27)^{2/3}} \right)\\\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{1}{(Re^{i\phi}+8)R^{1/3}e^{-i\phi/3}(19-Re^{i\phi})^{2/3}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\\\\ &-2\pi i\,\frac{e^{i\pi/3}}{18} \tag 1 \end{align}$$
Dejando $R\to \infty$, vemos que la integral en el lado derecho de la $(1)$ se desvanece. Por lo tanto, nos encontramos con
$$\oint_{\gamma}\frac{1}{(z+8)z^{1/3}(19-z)^{2/3}}\,dz=-2\pi i\,\frac{e^{i\pi/3}}{18} $$
Para terminar el problema, se nota que la contribución de las integraciones más de $\gamma_n$ $\gamma_m$ desvanecerse $\epsilon\to 0$. Esto deja
$$(1-e^{-i4\pi/3})\int_0^{19}\frac{1}{(x+8)x^{1/3}(19-x)^{2/3}}\,dx=-2\pi i\,\frac{e^{i\pi/3}}{18}$$
con lo cual la solución de la integral de intereses rendimientos de
$$\int_0^{19}\frac{1}{(x+8)x^{1/3}(19-x)^{2/3}}\,dx=\frac{\pi}{18\sin(2\pi/3)}=\frac{\pi}{9\sqrt 3}$$
