En la superficie de energía potencial, si encuentras un máximo local y calculas sus frecuencias en Gauss o algo así, ¿obtendrás todas las frecuencias negativas o todas las frecuencias positivas? Sé que en un mínimo local las frecuencias son todas positivas y que en un punto de silla de montar hay frecuencias tanto negativas como positivas, pero ¿qué pasa con un punto máximo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
maccullt
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La respuesta es sí, esto vale para cualquier gráfico (con una desigualdad débil, como señala Jon).
Establezcamos una notación. El gráfico de las amistades es $G$ . El conjunto de vértices de $G$ (el pueblo) es $V$ el conjunto de aristas (las amistades) es $E$ . Para una persona $v$ el número de amigos que tiene esa persona es $\deg v$ . El número total de personas es $n$ .
Queremos demostrar que $$\frac{1}{n} \sum_{v \in V} \deg v \leq \frac{1}{n} \sum_{v \in V} \frac{1}{\deg v} \sum_{(u,v) \in E} \deg(u).$$
Cancelar el $1/n$ de ambos lados. Tras una pequeña reescritura, queremos demostrar que $$\sum_{v \in V} \sum_{(u,v) \in E} 1 \leq \sum_{v \in V} \sum_{(u,v) \in E} \frac{\deg u}{\deg v}. \quad (*)$$
Consideremos lo que un borde dado $(u,v)$ contribuye a cada lado de $(*)$ . A la izquierda, contribuye $1+1=2$ . A la derecha, contribuye $(\deg u)/(\deg v) + (\deg v)/(\deg u)$ . Para dos números positivos cualesquiera $x$ y $y$ tenemos $2 \leq x/y+y/x$ . Así que cada arista contribuye más al lado derecho de $(*)$ que a la izquierda, y tenemos el resultado reclamado.
