¿Cómo traduce diferentes definiciones de la elipse a lo mismo?

Question

Hay 2 definiciones de una elipse, que yo sepa.

Una definición va:

El lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la proporción de sus distancias desde una línea fija (directriz) y un punto fijo (foco) es un constante y menor que 1.

Otro va:

El lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es una constante.

Ahora mi pregunta es ¿cómo es que estas dos definiciones, que parecen bastante diferentes el uno del otro, definir la misma cosa - elipse? Una cosa más que me gustaría saber es que en la primera definición, sólo un punto fijo y sólo una línea fija se mencionan. Mientras que en el segundo, no hay ninguna mención de la línea fija y dos puntos fijos se mencionan. Y una de las propiedades de la elipse es que hay dos focii y dos directrices. Ahora, todo esto es muy confuso para mí. Sé que todos ellos se definen de la misma cosa, elipse, pero no sé exactamente cómo ( diablos, ni siquiera aproximadamente! :D ) son estas definiciones equivalentes.

Answer 1

WLOG, podemos asumir la ecuación de la elipse a ser $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ and any point on it can be written as $P(a\cos t,b\sen t)$

Deje que los focos se $S(ae,0), S'(-ae,0)$

Por eso, $|PS|=\sqrt{(ae-a\cos t)^2+(0-b\sin t)^2}$ $=\sqrt{(ae-a\cos t)^2+a^2(1-e^2)(1-\cos^2t)}$

$=a(1-e\cos t)$ $e\cos t<1$ $0<e<1$ y $-1\le \cos t\le1$

Del mismo modo, $PS'=a(1+e\cos t)$

Así, la suma de las distancias es $2a$ que es independiente de la $t,$ por lo tanto constante y, de hecho, es igual a la longitud del eje mayor.

Por el contrario,

WLOG podemos asumir los puntos fijos se $S(a,0)$ $S'(-a,0)$ donde $a>0$

Por eso, $\sqrt{(x-a)^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x+a)^2+(y-0)^2}=2c$(decir)

Observar que la distancia más corta entre el $S(a,0)$ $S'(-a,0)$ $a-(-a)=2a$

Por eso, $2c$ debe $>2a\implies c>a$

En sqauring y re-transcripción tenemos , $$\frac {x^2}{c^2}+\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$$ which is a standard equation of an ellipse as $c>$

Answer 2

Por simplicidad, elegir un punto de $(f,0)$ $x$- eje y la línea vertical $x=L$$L>f>0$.

Vamos a considerar todos los puntos de $(x,y)$ tal que esta relación es una constante $e<1$:

$$\frac{{\rm dist}({\rm point}\,(x,y),\,{\rm point}\,(f,0))}{{\rm dist}({\rm point}\,(x,y),\,{\rm line}\,x=L)}=\frac{\sqrt{(x-f)^2+y^2}}{|x-L|}=e.$$

El cuadrado de los rendimientos

$$x^2-2fx+f^2+y^2=e^2x^2-2e^2Lx+e^2L^2$$

$$\iff (1-e^2)x^2+2(e^2L-f)x+y^2=e^2L^2-f^2.$$

Podemos deslizar el punto de $(f,0)$ y la línea de $x=L$ a lo largo de la $x$-eje sin cambiar la forma o el tamaño de la curva resultante; estos sólo afectan a su ubicación. Por lo tanto, podemos sin pérdida de generalidad moverlas para que $f=e^2L$. (Suponga $f$ $L$ a pie $d$ además: a continuación, simplemente solucionar $f=e^2(f+d)$$f$.)

En este punto tenemos $(1-e^2)x^2+y^2=e^2L^2-f^2$. La división, obtenemos

$$\frac{1-e^2}{e^2L^2-f^2}x^2+\frac{1}{e^2L^2-f^2}y^2=1,$$

que es de la forma $\square x^2+\square y^2=1$, una elipse. Por el contrario, vamos a

$$b^2=e^2L^2-f^2,\qquad a^2=\frac{b^2}{1-e^2}$$

(tenga en cuenta la condición de $f=e^2L$ fuerzas de $f,e,L$ a tiene exactamente dos grados de libertad), por lo tanto

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

es la forma general de la elipse obtenida. Trabajando hacia atrás (de la solución para $e,f,L$ en términos de $a,b$ bajo la condición de $f=e^2L$) se obtiene el foco y la directriz de una elipse. Nota: estos puntos suspensivos son específicamente aquellos con centro de $(0,0)$ que son más horizontalmente que verticalmente; todos los demás elipse puede ser obtenido mediante la realización de movimientos rígidos en la situación que hemos analizado.

Similar trabajo se muestra que las $e=1$ define una parábola, y $e>1$ una hipérbola.

Si consideramos la ecuación de $(x/a)^2+(y/b)^2=1$ como un punto medio entre las dos definiciones, lo que responde la mitad de su pregunta: ¿cómo la primera definición, siempre genera una elipse, y cómo cada elipse cae bajo la primera definición. del laboratorio de respuesta se conecta este punto medio a la segunda definición.

Con sus poderes combinados, estoy Conjunto, estos muestran que las dos definiciones son equivalentes.