¿Qué significan los siguientes símbolos asintóticos?

Question

¿Qué significan estos símbolos? Los veo en la teoría analítica de los números.

$$\ll$$ $$\gg$$ $$\ll_\epsilon$$ $$\gg_\epsilon$$ $$\asymp$$ $$\sim$$

Todo esto aparece aquí http://www.math.uiuc.edu/~lenfuchs/Binaryrep.pdf .

Answer 1

Todas estas son notaciones completamente estándar, y se utilizan a menudo en la teoría analítica de los números. (Yo diría que los matemáticos que trabajan en la teoría analítica de los números se sentirían bastante cómodos con estas notaciones y no esperarían que se definieran en un artículo. En un libro de texto, en cambio, probablemente estarían escritas en alguna parte: por ejemplo, creo que hay una lista de esas definiciones al principio del libro de Montgomery y Vaughan.

Decimos que $f(x) \ll g(x)$ (entendido implícitamente como $x \to \infty$ ) si $f(x) = O(g(x))$ o, de forma equivalente, si \N-[\Nlimsup_{x \\\Nhasta \Ninfty} \frac{|f(x)|}{g(x)} = C < \Ninfty\] para alguna constante no negativa $C$ . Tenga en cuenta que $g(x)$ se suele suponer implícitamente que es una función positiva, al menos para todo $x$ suficientemente grande.

De la misma manera, $f(x) \gg g(x)$ (de nuevo implícitamente entendido como $x \to \infty$ ) si $g(x) = O(f(x))$ o, de forma equivalente, si \N-[\Nlimsup_{x \\\Nhasta \Ninfty} \frac{g(x)}{f(x)} = C < \Ninfty\] para alguna constante no negativa $C$ . Aquí ambos $f(x)$ y $g(x)$ se entienden implícitamente como funciones positivas.

La notación $\ll_{\varepsilon}$ implica que la constante implícita $C$ depende del parámetro $\varepsilon$ . Por ejemplo, si dejamos que $f(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n)$ la función Mertens, y $g(x) = x^{1/2 + \varepsilon}$ que depende del parámetro $\varepsilon$ entonces la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación $f(x) \ll_{\varepsilon} g(x)$ . Esto también se escribe como $f(x) = O_{\varepsilon}(g(x))$ . Esto significa que \N-[\Nlimsup_{x \\\Nhasta \Ninfty} \frac{|f(x)|}{g(x)} = C < \Ninfty\] para alguna constante no negativa $C = C(\varepsilon)$ que puede depender del parámetro $\varepsilon$ .

La notación $\gg_{\varepsilon}$ se define de forma análoga.

La notación $f(x) \asymp g(x)$ significa que ambos $f(x) \gg g(x)$ y $f(x) \ll g(x)$ mantener simultáneamente. Por ejemplo, tomemos $f(x) = x + \sin x$ y $g(x) = x$ .

La notación $f(x) \sim g(x)$ también se escribe ocasionalmente como $f(x) = (1 + o(1)) g(x)$ o $f(x) = g(x) + o(g(x))$ . Simplemente significa que $f(x) - g(x) = o(g(x))$ o, de forma equivalente, que \N-[\Nlimsup_{x \\\Na \Ninfty} \frac{|f(x) - g(x)|}{g(x)} = 0.\N-]

La otra definición común que no mencionas es $\Omega$ . Escribimos $f(x) = \Omega(g(x))$ si \N[\Nlimsup_{x \Na \Ninfty} \frac{|f(x)|}{g(x)}> 0.\N] Puede darse el caso de que este límite sea $\infty$ y esto está ciertamente permitido. Por ejemplo, tomemos $f(x) = x^2$ y $g(x) = x$ . Se puede ser más preciso y escribir $f(x) = \Omega_+(g(x))$ si \N-[\Nlimsup_{x \\Na\Ninfty} \frac{f(x)}{g(x)} > 0,\N-] y de forma similar $f(x) = \Omega_-(g(x))$ si \N - [\N -iminf_{x} \N -infty} \N -frac{f(x)}{g(x)} < 0,\N -]

Answer 2

Mi opinión sería la siguiente: $$ f \ll g \iff f \in \mathcal{O}(g) \iff \limsup_{X \to \infty} \left | \frac{ f}{g} \right | < \infty$$ El siguiente no estoy seguro, pero supongo que se refiere a $$ f \ll_{\epsilon} g(\epsilon) \iff \limsup_{X \to \infty} \left | \frac{ f}{g} \right | = M(\epsilon) < \infty $$ Entonces $$ f \asymp g \iff f \ll g\quad \& \quad g \ll f$$ Por último $$ f \sim g \iff \lim_{X \to \infty} \frac{f}{g} = 1 $$

Answer 3

Los autores deberían haber explicado su notación, así que vergüenza para Bourgain y Fuchs. Nunca he visto algo como $\leq_{\epsilon}$ .