coeficientes de la función zeta de curva sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$

Question

Deje $C$ ser un no-singular de la curva de más de $\mathbb{F}_q$. Denotar por $d$ el grado de mapa desde el grupo de divisores de a $\mathbb{Z}$ y denotan por $P$ el conjunto de primos divisores w.r.t. para el campo de función.

Deje $C_n$ ser la curva obtenida a partir de a $C$ por la ampliación de $\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}_q^n$. Hay un bijection entre el $\{P \text{ prime divisor of } C_n: d(P)=1\}$ $\{P \text{ prime divisor of } C: d(P)|n\}$

El siguiente es el contexto (véase también C. Moreno, curvas sobre campos finitos):

Deje $C$ ser un no-singular de la curva de más de $\mathbb{F}_q$. Denotar por $d$ el grado de mapa desde el grupo de divisores de a $\mathbb{Z}$ y denotan por $P$ el conjunto de primos divisores w.r.t. para el campo de función.

La función zeta de $C$ está definido por $Z(t,C):= \sum_{D} {t^{d(D)}} $, donde la suma se va a través de todos los divisores positivos.

Uno puede mostrar que

Teorema: $Z(t,C)=exp(\sum_{m=1}^{\infty}N_m \frac{t^m}{m})$ donde $N_m:=\sum_{P,d(P)|m}{d(P)}$ $N_1$ es igual al número de primos divisores de grado $1$.

Teorema: $N_n=N_1(C_n)$ donde $N_1(C_n)$ denota correspondiente $N_1$ w.r.t. a $Z(t,C_n)$ $N_n$ w.r.t. $Z(t,C)$ como se define arriba.

Ahora, obviamente, tenemos que $N_1(C_n)$ es igual al número de primos divisores $P$$C_n$$d(P)=1$. Pero ahora es inmediato deducir que este es igual al número de primos divisores de $C$$d(P)|n$, pero yo no unterstand esta deducción. Cómo funciona esto?

Answer 1

Creo que es mejor escribir la función zeta el uso de puntos, es decir,

$$Z(t, C) = \exp\left(\sum_{n=1}^\infty \#\overline{C}(\mathbb F_{q^n}) \frac{t^n}{n}\right),$$

donde $\overline{C}$ denota el cambio de base de a$C$$\overline{\mathbb F_q}$.

Un divisor primo $P$ $C_n$ grado $1$ es precisamente la misma cosa como un $\mathbb F_{q^n}$-racional punto de $C_n$. Los puntos en $C_n(\mathbb F_{q^n})$ tienen una acción de $\text{Gal}(\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q)$, un grupo cíclico de orden $n$; las órbitas de esta acción corresponde a la proximidad de los puntos de $C/\mathbb F_q$ cuyo residuo de campo está contenida en $\mathbb F_{q^n}$. A tal punto es, precisamente, un divisor primo en $C$ cuyo grado se divide $n$, desde el campo finito $\mathbb F_q$ tiene una extensión única de grado $d$ por cada $d$.