Este reciente pregunta me puso a pensar, si un libro de texto (o un examen) le dice a un estudiante para dar una combinatoria prueba de algo que implica (sumas) de los coeficientes binomiales, sería suficiente para demostrar que por el triángulo de Pascal estas cosas, o le falla una respuesta como esa? Lo que si no nos llaman triángulo de Pascal, pero "el número de caminos que parar en algún momento en el paso $i$ durante unidimensional de paseo aleatorio"?
Respuestas
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En el contexto de su pregunta, hablando de los libros de texto o los exámenes, este podría ser visto como una cuestión de pedagogía. Hay un par de razones por las que un autor o de un instructor de introducir la combinatoria de las pruebas, particularmente aquellos que involucran los coeficientes binomiales:
- Para reforzar la idea de que los coeficientes binomiales pueden utilizar para contar el número de maneras en que algunas cosas pueden ocurrir. Una combinatoria prueba de una identidad que implican los coeficientes binomiales por lo tanto puede proporcionar un medio por el cual el autor puede obtener de su audiencia a hacer la misma tarea de contar de dos maneras diferentes: dos problemas de recuento en un solo ejercicio.
- Para ilustrar la importancia de la idea de que algunas identidades son bastante un poco más fácil, si se aborda a partir de un recuento de perspectiva que por manipulación algebraica.
Un buen ejemplo de esto último es la conocida identidad $$ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n $$ Uno podría hacer esto por inducción en $n$, pero la prueba algebraica de ninguna manera es tan simple (y ilustrativas) como el puramente combinatoria versión.
Para responder a su pregunta, entonces, me gustaría recomendar una de las dos estrategias. En primer lugar, si se trata de un curso y que se plantea esa pregunta, la mejor manera sería que pregunte a su instructor, algo así como "yo podría contestar a esta pregunta mediante el uso de propiedades del Triángulo de Pascal; tendría que aceptar que o quieres una combinatoria de prueba desde el suelo hacia arriba?" Si tal cuestión se considera fuera de los límites o si usted se auto-estudio, usted podría preguntarse, "¿Cuál fue el autor de la probable intención aquí, para que me consiga la respuesta por todos los medios posibles, o fue que me animan a pensar de forma combinatoria?"
Mark H
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Yo diría que una combinatoria de prueba es algo más importante que señalar un patrón en una imagen! Si estamos en el nivel de "combinatoria", a continuación, también estamos en el nivel de las pruebas y, como tal, la frase "combinatoria" a prueba pide una prueba , pero en la combinatoria (o contar) sentido.
Una prueba, por ejemplo, decir "este patrón se mantiene en la pequeña porción de Triángulo de Pascal que me han llamado", no es un periodo de prueba, combinatoria o de otra manera. El caso general de una propiedad puede ser verificada de forma combinatoria, sino simplemente observando, no constituiría una combinatoria de la prueba en sí misma. Al menos esa es la forma en que lo veo.
