$\lim\limits_{N \to +\infty} \sqrt{N+1} \log\left (1+\frac{x}{N+1}\right)$

Question

Tengo que calcular el límite

$$ \lim\limits_{N \to + \infty} \sqrt{N+1} \log \left(1+\frac{x}{N+1}\right) $$ donde $x \ge 0$ es fijo. He intentado ver los anteriores como

$$ \log \lim\limits_{N \to + \infty} \left (1 + \frac {x} {n+1} \right) ^ {\sqrt {n+1}} $$ y el cambio de variable, pero no funciona. Intuitivamente, este límite es 0, pero no tienen idea de cómo solucionarlo. ¿Me puedes ayudar?

Answer 1

No importa el "+1".

Gran $N$ y % fijo $x$

$\sqrt{N} \log (1 + \frac {x} {N}) = \sqrt{N} (\frac{x}{N}+O((\frac{x}{N})^2)) =\frac{x}{\sqrt{N}}+O(\frac{1}{N^{3/2}}) \to 0 $.

Esto es con $N^{c}$ (en vez de $\sqrt{N}$) para todas las $0

Si $c=1$, tenemos \log $N (1 + \frac {x} {N}) = N (\frac{x}{N}+O((\frac{x}{N}))^2) =x+O(\frac{1}{N}) \to x $.

Answer 2

Este es fácil y una consecuencia inmediata de la desigualdad fundamental satisfecha por $\log$ función: $$\log x\leq x-1,x>0\tag{1}$$ For the current question we have $x\geq 0$ and hence $% $ $0\leq \sqrt{N+1}\log\left(1+\frac{x}{N+1}\right) \leq \frac{x} {\sqrt{N+1}}$y el resultado sigue vía Teorema del apretón.

Answer 3

Si se nos permite usar L' Hospital:

$$\lim{n\to \infty}\frac{\ln(1+\frac{x}{n+1})}{\frac{1}{\sqrt{n+1}}} = \lim{n\to \infty}\frac{2(n+1)^{5/2}}{(n+1+x)(n+1)^2} \to 0$$

Answer 4

Vamos a plantear $z = \frac{1}{\sqrt{N+1}}$. Entonces, cuando $N$ $+\infty$, entonces $z$ va a $0$. Puede reescribir su límite como sigue:

$$\lim_{z \to 0} \frac{1}{z} \log\left(1 + xz^2\right).$$

Es bien sabido:

$$\lim_{a \to 0} \frac{\log\left(1 + a\right)}{a} = 1.$$

A partir de esto, podemos reescribir el límite original como sigue:

$$\lim_{z \to 0} xz \left(\frac{\log\left(1 + xz^2\right)}{xz^2}\right) = 0 \cdot 1 = 0.$$

La idea aquí es que "$a = xz^2$", puesto que ambos van a $0$...

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Si el límite era

$$\lim\limits_{N \to +\infty} (N+1) \log \left(1+\frac{x}{N+1}\right),$$

a continuación, pasar a $z$, obtenemos:

$$\lim_{z \to 0} \frac{1}{z^2} \log\left(1 + xz^2\right),$$

o equivalente

$$\lim_{z \to 0} x \left(\frac{\log\left(1 + xz^2\right)}{xz^2}\right) = x \cdot 1 = x.$$

Answer 5

Se puede escribir:

$$\lim{n\to\infty}(\sqrt{n+1}\ln(1+\frac x{n+1})) = \lim{n\to\infty}\frac{(n+1)\ln(1+\frac x{n+1})}{\sqrt{n+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac x{n+1})^{n+1}}{\sqrt{n+1}}. $$

¿Puede terminar de aquí?