La función W de Lambert se define como la inversa de $f(x)=xe^x$ y la ecuación $x^x=k$ puede resolverse con bastante facilidad utilizando la función $$x^x=k$$ $$\ln(x^x)=\ln(k)$$ $$x\ln(x)=\ln(k)$$ $$e^{\ln(x)}\ln(x)=\ln(k)$$ $$\ln(x)=W(\ln(k))$$ $$x=e^{W(\ln(k))}$$
Mi pregunta es si $ x^{x^x}=k$ resolverse utilizando la función W de Lambert, y si es así, ¿pueden resolverse las torres de potencia de cualquier altura utilizando algún proceso iterativo?
can $x^{x^x}=y$ be solved using the lambert W function, and if so,Utilizando la notación de Maurer, la ecuación ${^n}x=y$ se puede resolver mediante la fórmula de Lambert $W$ sólo para $n=2$ .
Si definimos vagamente "grado de trascendencia de una ecuación" como la altura de la torre exponencial más alta con $x$ en la parte superior, contenida en la ecuación menos uno, entonces $W$ resuelve SÓLO ecuaciones con grado (de trascendencia) como máximo 1 (es decir, con exponenciales de altura total 2), pero NO todas las ecuaciones de este tipo.
La ecuación $x^{x^x}=y$ se escribe como ${^3}x=y$ en consecuencia tiene (trascendencia) grado 2 (torre con 3 x menos 1)
Si la memoria no me falla, la ecuación más general resoluble por $W$ es algo así como:
$$a\cdot x^m\cdot d^{b\cdot x^n+c}=y$$
que como se puede ver se puede reducir a tener grado 1 en algún momento del proceso de solución algebraica, tomando $n$ -raíces en ambos lados de la ecuación.
Para profundizar en el segundo punto, obsérvese que la adición de un simple $x$ a la ecuación anterior y falla la resolubilidad. Es decir, la ecuación
$$a\cdot x^m\cdot d^{b\cdot x^n+c}+x=y$$
por ejemplo, ahora NO es solucionable mediante $W$ Por lo tanto, la definición de "grado de trascendencia" de una ecuación debe hacerse un poco más rigurosa, especificando algunas restricciones de configuración adicionales, que varían de un caso a otro.
can power towers of any height be solved using some iterative process?Claro que pueden. Omitiendo los detalles sobre la existencia, se mantiene la siguiente equivalencia:
$${^n}x=y\Leftrightarrow x=^{\frac{1}{n}}y$$
y este es el $n$ -superraíz de orden de $y$ que, tras tener en cuenta los dominios y rangos, puede aproximarse mediante iteración numérica hacia atrás.
Tal método, por ejemplo, fue presentado en Maple por Robert Israel, arriba, hace mucho tiempo en sci.math.
Acabas de afirmar que no puede resolver ecuaciones con un grado de trascendencia superior a uno, pero ¿hay alguna razón/prueba de por qué?
@ASKASK Claro: Es porque el Lambert es el inverso de $x\cdot\exp(x)=y$ y no la inversa de algún $x\cdot \exp^{(n)}(x)=y$ con $n>1$ . ¿No es obvio que la limitación proviene de la definición de $W$ ?
Bueno, en realidad se puede resolver $x^{x^{x+1}} = a$ escriba esto como $y^y = a$ donde $y = x^x$ y usar Lambert dos veces.
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Ha cometido un error tipográfico irreparable (edición demasiado corta). $x\ln(x) = \ln(k)$ .