¿Cuál es la integral de $e^{\cos x}$

Question

Pregunta:

Averígualo $\displaystyle{\int e^{\cos x}~dx}$ .

Mi intento:

Sea $\cos x = y$ . Por lo tanto $-\sin x\ dx = dy$ o $$dx = \displaystyle{\frac{-dy}{\sin x}=\frac{-dy}{\sqrt{1-\cos^2x}}=\frac{-dy}{\sqrt{1-y^2}}}$$ Así que

$$\begin{align}\int e^{\cos x}~dx &= \int e^y\left(\frac{-dy}{\sqrt{1-y^2}}\right)\\ &=-\int\frac{e^y}{\sqrt{1-y^2}}~dy \end{align}$$

Esta integral es una que no puedo resolver. Llevo dos días intentándolo, pero no lo consigo. No puedo hacerlo por partes porque la nueva integral así formada sería aún más difícil de resolver. No encuentro ninguna sustitución que pueda hacer en esta integral para simplificarla. Por favor, ayúdame a resolverla. ¿El problema está en mi primera sustitución $y=\cos x$ o hay alguna otra forma de resolver la integral $\displaystyle{\int\frac{e^y}{\sqrt{1-y^2}}~dy}$ ?

Answer 1

Ver también https://math.stackexchange.com/a/117545/442

Aunque esta integral indefinida no tiene forma cerrada conocida, se conocen ciertas integrales definidas... $$ \int_0^\pi e^{\cos x}\;dx = \pi\;I_0(1) , $$ donde $I_0$ es un función de Bessel modificada

Answer 2

En primer lugar: no existe una solución aproximada en términos de funciones elementales.

Lo que se puede hacer, aunque no es un resultado exacto y además su validez está acotada, es expresar la exponencial como una serie de Taylor:

$$e^{\cos x} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(\cos x)^k}{k!}$$

por lo que la integral se convierte en

$$\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{k!}\int \cos^k(x)\ \text{d}x$$

La integral puede evaluarse de forma "aproximada" (no realmente, ya que implica una función hipergeométrica que es a su vez una serie) de la siguiente manera:

$$\int \cos^k(x)\ \text{d}x = -\frac{\sin (x) \cos ^{k+1}(x) \, _2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{k+1}{2};\frac{k+3}{2};\cos ^2(x)\right)}{(k+1) \sqrt{\sin ^2(x)}}$$

De ahí al final la solución:

$$\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{k!}\left(-\frac{\sin (x) \cos ^{k+1}(x) \, _2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{k+1}{2};\frac{k+3}{2};\cos ^2(x)\right)}{(k+1) \sqrt{\sin ^2(x)}}\right)$$

Usted puede obtener satisfecho en tomar la primera $n$ términos de la serie...

Observaciones

Como he dicho, no es una solución muy aproximada, ya que implica dos series y una expansión de Taylor, pero creo que es lo mejor que se puede obtener.

Answer 3

Esto es sólo una respuesta a sus comentarios acerca de haber intentado la integración por partes para este problema.

Tienes razón en que esta idea no es muy útil, pero no porque se convierta necesariamente en una bola de nieve de complejidad, sino más bien porque se vuelve circular.

Por partes:

$$\int 1\cdot e^{\cos x}\text dx = x\cdot e^{\cos x}+\int x \cdot\sin x \cdot e^{\cos x}\text dx$$

Aplicación de partes (y sustitución de $\cos x$ ) para la integral del lado derecho, obtenemos:

$$\int x \cdot\sin x \cdot e^{\cos x}\text dx = -x\cdot e^{\cos x}+\int e^{\cos x}\text dx$$

Esto, por desgracia, simplemente nos da el resultado circular, y no muy útil, de que:

$$\int e^{\cos x}\text dx = \int e^{\cos x}\text dx$$

Answer 4

Esta integral indefinida no tiene forma cerrada $$I(x)=\int_0^xe^{\cos(t)}dt$$ Las expansiones habituales de $ I (x) $ se obtienen generalmente expandiendo $ e ^ x $ e integrando $ \int \cos ^ \alpha (x) dx $ obteniendo así una serie en términos de la función hipergeométrica. Como no estoy muy familiarizado con la función hipergeométrica, mostraré primero cómo es posible expresar $I (x)$ en series de Taylor y luego te mostraré cómo es posible descomponer la función hipergeométrica de una manera más familiar

Aplicación de la Fórmula de Faà di Bruno para la función compuesta $f(x)=\exp(\cos(x))$ podemos demostrar que $f^{(2n+1)}(0)=0$ et $f^{(2n)}(0)$ son el número de particiones de a $2n$ -en bloques pares A005046 por lo tanto podemos expresar $f (x)$ con la siguiente serie taylor:

$$\frac{e^{\cos(x)}}{e}=1+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\Bigg(\sum_{k=1}^{2n}\sum_{h=0}^{k-1}\frac{(-1)^h(h-k)^{2n}}{2^{k-1}k!}\binom{2k}{h} \Bigg)\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

$$\frac{1}{e}\int_0^xe^{\cos(t)}dt=x+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\Bigg(\sum_{k=1}^{2n}\sum_{h=0}^{k-1}\frac{(-1)^h(h-k)^{2n}}{2^{k-1}k!(2n+1)!}\binom{2k}{h} \Bigg)\frac{x^{2n+1}}{(2n)!}$$

Podemos añadir a la respuesta del usuario @Turing la siguiente expresión para transformar la integral indefinida $\int \cos(x)^kdx$ en una integral definida, muy fácil de calcular numéricamente: por la expresión integral de la función hipergeométrica

$$_2F_1\left(a,b;c;z\right)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1 \frac{t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}}{(1-t z)^a}dt$$

$$\int_0^x e^{\cos(t)}dt =2(-1)^{\lfloor x/\pi\rfloor}\cos(x)\sum_{k=0}^\infty \frac{ \cos(x)^{k}}{k!}\int_0^1\frac{t^{k/2}}{\sqrt{t(t \cos(x)^2)-1}}dt$$

O utilizando la expansión en serie de la función hipergeométrica:

$$_2F_1\left(a,b;c;z\right)=\sum_{h=0}^\infty \frac{\Gamma(a+h)\Gamma(b+h)\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c+h)} \frac{z^h}{h!}$$

$$\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+h)\Gamma(\frac{k+1}{2}+h)\Gamma(\frac{k+3}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{k+3}{2}+h)}=\frac{(1+k)\Gamma\left(h+\frac{1}{2}\right)}{(1+k+2h)\sqrt{\pi}}=\frac{(1+k)(2h)!}{4^{h}(1+k+2h)h!} $$

$$_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{k+1}{2};\frac{k+3}{2};\cos(x)^2\right)=\sum_{j=0}^\infty \frac{(1+k)(2j)!}{4^{j}(1+k+2j)j!} \frac{\cos(x)^{2j}}{j!}=\sum_{j=0}^\infty \frac{(1+k)}{4^{j}(1+k+2j)} \binom{2j}{j}\cos(x)^{2j}$$

$$\int \cos(x)^k dx=(-1)^{\lfloor x/\pi\rfloor+1}\sum_{h=0}^\infty \frac{1}{4^{h}(1+k+2h)} \binom{2h}{h}\cos(x)^{1+k+2h}+c$$

$$\int e^{cos(x)}dx=(-1)^{\lfloor x/\pi\rfloor+1}\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{h=0}^\infty \frac{\binom{2h}{h}}{4^{h}(1+k+2h)k!} \cos(x)^{1+k+2h}+c$$

Answer 5

$\int e^{\cos x}~dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos^{2n}x}{(2n)!}dx+\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos^{2n+1}x}{(2n+1)!}dx$

$=\int\left(1+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos^{2n}x}{(2n)!}\right)dx+\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos^{2n+1}x}{(2n+1)!}dx$

Para $n$ es cualquier número natural,

$\int\cos^{2n}x~dx=\dfrac{(2n)!x}{4^n(n!)^2}+\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(2n)!((k-1)!)^2\sin x\cos^{2k-1}x}{4^{n-k+1}(n!)^2(2k-1)!}+C$

Este resultado puede obtenerse por integración sucesiva por partes.

Para $n$ es cualquier número entero no negativo,

$\int\cos^{2n+1}x~dx$

$=\int\cos^{2n}x~d(\sin x)$

$=\int(1-\sin^2x)^n~d(\sin x)$

$=\int\sum\limits_{k=0}^nC_k^n(-1)^k\sin^{2k}x~d(\sin x)$

$=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^kn!\sin^{2k+1}x}{k!(n-k)!(2k+1)}+C$

$\therefore\int\left(1+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos^{2n}x}{(2n)!}\right)dx+\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos^{2n+1}x}{(2n+1)!}dx$

$=x+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x}{4^n(n!)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{((k-1)!)^2\sin x\cos^{2k-1}x}{4^{n-k+1}(n!)^2(2k-1)!}+\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^kn!\sin^{2k+1}x}{(2n+1)!k!(n-k)!(2k+1)}+C$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x}{4^n(n!)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{((k-1)!)^2\sin x\cos^{2k-1}x}{4^{n-k+1}(n!)^2(2k-1)!}+\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^kn!\sin^{2k+1}x}{(2n+1)!k!(n-k)!(2k+1)}+C$