Grupos multiplicativos de campos sin torsión, divisibles

Question

Para que cardinalidades $\kappa$$\def\Q{\mathbb Q}\Q^{(\kappa)}$, —por que me refiero a la suma directa de $\kappa$-muchas copias de $\Q$—isomorfo (como un grupo abelian) para el grupo multiplicativo de las unidades de campo $F$?

$\Q^{(\kappa)}$ es de torsiones, así por ejemplo podemos ver que la característica de $F$ debe ser de 2: desde $(-1)^2 = 1$, es de torsión a menos $-1 = 1$. $\Q^{(\kappa)}$ es también un múltiplo de grupo.

A partir de un documento citado en esta respuesta a una pregunta anterior de la mina, sabemos que:

• $\kappa = 0$ trabaja: $\Q^{(0)} \cong (\Bbb Z/2\Bbb Z)^*$,
• $\kappa = 1$ no funciona: todo tiene que ser algebraicas sobre $\Bbb Z/2\Bbb Z$ y, por tanto, de torsión,
• Algunos de los innumerables $\kappa$ obras: podemos ver el siguiente ultraproduct ha multiplicativo grupo isomorfo a $\Q^{\aleph_0} \cong \Q^{(\kappa)}$: $$F = \prod_{p\ \text{prime}} \mathrm{GF}(2^p)/U.$$ I think that saying $\kappa = 2^{\aleph_0}$ está suponiendo la CH, pero lo que sea.

Hay otros $\kappa$, especialmente finitos, para lo cual se puede responder sí o no?

Answer 1

No existe tal campo $ F $ finitas $ \kappa $. Como se observa, si existe un campo, se debe tener la característica de $ 2 $. Además, no contiene ninguna elementos que son algebraicos sobre su primer campo de $ \mathbb F_2 $ (además de los que ya están en $ \mathbb F_2 $), debido a que, a continuación, $ F^{\times} $ ha de torsión, lo cual es una contradicción. Desde $ F \neq \mathbb F_2 $, se deduce que hay una incrustación $ \mathbb F_2(T) \to F $, lo que da una incrustación de grupos multiplicativos $ \mathbb F_2(T)^{\times} \to F^{\times} \cong \mathbb Q^{\kappa} $. $ \mathbb F_2(T)^{\times} \cong \mathbb Z^{\omega} $, por lo tanto, es suficiente para mostrar que no hay ninguna incrustación $ \mathbb Z^{\omega} \to \mathbb Q^{\kappa} $ $ \kappa $ finito. Esto sigue, ya que la imagen de $ n $ $ \mathbb Z $-linealmente independientes elementos en $ \mathbb Z^{\omega} $ es linealmente independiente en $ \mathbb Q^{\kappa} $, lo $ \kappa > n $ para todos los números naturales $ n $, yo.e $ \kappa $ debe ser infinito.