Encontrar algo de ortogonalidad en una integral tipo convolución sobre polinomios de Legendre

Question

Me encontré con la siguiente integral en mi investigación (física), y todavía no he encontrado una solución analítica: $$I(n_1,n_2,n_3) = \int_{-1}^{1} d(\cos\theta_1) \int_{-1}^{1} d(\cos\theta_2) P_{n_1}(\cos\theta_1) P_{n_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)] P_{n_3}(\cos\theta_2)$$ donde $P_n(x)$ es el enésimo polinomio de Legendre. Como referencia, la relación de polinomios ortogonales para los polinomios de Legendre es: $$\int_{-1}^{1} d(\cos\theta) P_{n_1}(\cos\theta) P_{n_2}(\cos\theta) = \int_{0}^{\pi} d\theta (\sin\theta) P_{n_1}(\cos\theta) P_{n_2}(\cos\theta) = \frac{2}{2n_1+1}\delta_{n_1,n_2}$$

Mathematica no tiene mucho problema en evaluar la integral exactamente (Integrate, no NIntegrate) para una $\{n_1, n_2, n_3\}$ .

k[n1_,n2_,n3_]:=Integrate[Sin[x]Sin[y]LegendreP[n1,Cos[x]]LegendreP[n2,Cos[x-y]]LegendreP[n3,Cos[y]],{x,0,Pi},{y,0,Pi}]

Ya veo que $I(n_1, n_2, n_3)$ no es diagonal. Incluso los términos diagonales contienen factores que todavía tengo que averiguar, esto es lo que veo hasta ahora: $$I(n,n,n) = 2^n \left[\frac{2}{2n+1}\right]^2 \times \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac {4}{35},\frac{4}{63},\frac{8}{231},\frac{8}{429}, \frac{64}{6435}, ... \right\}$$ donde los términos entre corchetes corresponden a $n=0,1,2,...$

Muchos de los términos no diagonales parecen contener un $\pi^2$ y alguna potencia de 2.

¿Tiene alguna sugerencia? ¿Transformaciones de variables útiles, reconocimiento de patrones? Gracias de antemano.

Answer 1

Supongo que este es uno de esos casos en los que el teorema de adición de armónicos esféricos $$ P_l(\cos \gamma) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y^*_{lm}(\theta_1,\phi_1) Y_{lm}(\theta_2,\phi_2)$$ es muy útil; aquí, $\gamma$ es el ángulo entre dos vectores de coordenadas esféricas $(\theta_1,\phi_1)$ y $(\theta_2,\phi_2)$ y $Y_{lm}$ son los armónicos esféricos.

En su caso, elegimos $\phi_1=\phi_2=0$ y el hecho de que $$Y_{lm}(\theta,0)= \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) $$ con $P_l^m$ los polinomios de Legendre asociados. El teorema de la adición es, pues, el siguiente $$P_l [\cos(\theta_1 - \theta_2)]= \sum_{m=-l}^l \frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(\cos\theta_1)P_l^m(\cos\theta_2).$$

Introduciendo el teorema de la adición en tu integral se obtiene, $$I(n_1,n_2,n_3) = \int_{-1}^{1}\! dx_1 \int_{-1}^{1}\! dx_2\, P_{n_1}(x_1) \left[\sum_{m=-n_2}^{n_2} \frac{(n_2-m)!}{(n_2+m)!}P_{n_2}^m(x_1)P_{n_2}^m(x_2) \right] P_{n_3}(x_2).$$

En un último paso, necesitamos conocer la integral $$p(k,l,m)=\int_{-1}^1 \!dx \,P_k(x) P_l^m(x)$$ en términos de los cuales podemos encontrar la expresión $$I(n_1,n_2,n_3) = \sum_{m=-n_2}^{n_2} \frac{(n_2-m)!}{(n_2+m)!} p(n_1,n_2,m) p(n_3,n_2,m).$$

Resulta que la expresión general para $p(k,l,m)$ es bastante complicado . Sin embargo, para $k=l$ tenemos la simple expresión $$p(l,l,m)= \begin{cases} \frac{2(-1)^{m/2} l! (2l)!}{(1+2l)! (l-m)!} & m\text{ even},\\ 0& m\text{ odd}.\end{cases} $$

Para los elementos diagonales, obtenemos $$I(n,n,n)= \sum_{\substack{m=-n;\\m\text{ even}}}^n \frac{1}{(n+m)!}\frac{4 \,n!^2\, (2 n)!^2}{(2 n+1)!^2\, (n-m)!} . $$

Como la expresión para el elemento diagonal ya es bastante complicada, me temo que los elementos fuera de la diagonal serán aún más engorrosos. Sin embargo, utilizando el documento enlazado anteriormente, deberías ser capaz de obtener una expresión explícita.

Answer 2

Esta solución es una continuación de la respuesta de Fabian. ¡Gracias por indicarme la dirección correcta!

Partiendo de la definición original de $I(n_1,n_2,n_3)$ : $$I(n_1,n_2,n_3) = \int_{-1}^{1} d(\cos\theta_1) \int_{-1}^{1} d(\cos\theta_2) P_{n_1}(\cos\theta_1) P_{n_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)] P_{n_3}(\cos\theta_2)$$ podemos expandir el polinomio de Legendre medio en términos de los polinomios de Legendre asociados como sigue: $$P_l [\cos(\theta_1 - \theta_2)]= \sum_{m=-l}^l \frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(\cos\theta_1)P_l^m(\cos\theta_2)$$ Entonces $I(n_1,n_2,n_3)$ está escrito: $$I(n_1,n_2,n_3) = \int_{-1}^{1} dx_1 \int_{-1}^{1} dx_2\, P_{n_1}(x_1) \left[\sum_{m=-n_2}^{n_2} \frac{(n_2-m)!}{(n_2+m)!}P_{n_2}^m(x_1)P_{n_2}^m(x_2) \right] P_{n_3}(x_2)$$ Definiendo la superposición de un polinomio de Legendre con un polinomio de Legendre asociado como $$X(n,n_2,m_2)=\int_{-1}^1 dx\, P_{n}(x) P_{n_2}^{m_2}(x)$$ para que $$I(n_1,n_2,n_3) = \sum_{m_2=-n_2}^{n_2} \frac{(n_2-m)!}{(n_2+m)!} X(n_1,n_2,m_2) X(n_3,n_2,m_2)$$

Se ha derivado una única expresión de suma para la integral de solapamiento de dos polinomios de Legendre asociados en J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 2601-2603 (junto con una pequeña corrección en un documento de comentarios: J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 4187-4188 ). La solución en ese documento es para $$ Z(n_1,m_1,n_2,m_2) = \int_{-1}^1 dx\, P_{n_1}^{m_1}(x) P_{n_2}^{m_2}(x) $$ pero sólo necesitamos $X(n,n_2,m_2)=Z(n,0,n_2,m_2)$ . Esto simplifica ligeramente las expresiones resultantes. Cuando $m_2=0$ tenemos la superposición de dos polinomios de Legendre, por lo que $$X(n,n_2,0) = \frac{2}{2n+1} \delta_{n,n_2}$$ Cuando $m_2 \neq 0$ , $$X(n,n_2,m_2 \neq 0) = A(n_2,m_2) \sum_{l=l_{\text{min}}}^{l_{\text{max}}} D(l,m_2)(2l+1) \begin{pmatrix} n & n_2 & l \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n & n_2 & l \\ 0 & m_2 & -m_2 \end{pmatrix} $$ donde $ \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \text{ is the Wigner 3-j symbol} $ y \begin{aligned} A(n,m) =& (-1)^{\tau(m)} |m|\, 2^{|m|-2} \sqrt{\frac{(n+m)!}{(n-m)!}} \\ \tau(m) =& \begin{cases}0 & \text{if } m \geq 0 \\ m & \text{if } m < 0\end{cases} \\ D(l,m) =& \begin{cases} \left(1+(-1)^{l+|m|}\right) \sqrt{\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \frac{\Gamma(l/2)\Gamma[(l+|m|+1)/2]}{\Gamma[(l+3)/2][(l-|m|)/2]!} & \text{if } l+m \text{ is even} \\ 0 & \text{if } l+m \text{ is odd} \end{cases} \\ l_{min} =& \begin{cases}|n-n_2| & \text{if } |n-n_2| \geq |m_2| \\ |m_2| & \text{if } |n-n_2| < |m_2|\end{cases} \\ l_{max} =& n + n_2 \fin{alineado}

Esto completa la solución general para $I(n_1,n_2,n_3)$ . Como ha señalado Fabian, los elementos diagonales tienen una forma considerablemente más sencilla: $$X(n,n,m) = \begin{cases} \frac{2(-1)^{m/2} n! (2n)!}{(2n+1)! (n-m)!} & m\text{ even}\\ 0& m\text{ odd}\end{cases}$$ para que $I(n,n,n)$ se puede calcular rápidamente a partir de $$I(n,n,n) = \sum_{\substack{m=-n\\m\text{ even}}}^{n} \frac{1}{(n+m)!}\frac{4[n!]^2[(2n)!]^2}{[(2n+1)!]^2(n-m)!}$$