¿Operador unitario limitado?

Question

Por favor, lea todo antes de dar una respuesta...

Supongamos que tienes un densamente definido, no necesariamente delimitada operador: $\overline{\mathcal{D}(T)}=\mathcal{H}$
Por otra parte, se supone que es inyectiva: $\mathcal{N}(T)=\{0\}$
Ahora, imagine que tiene la propiedad: $T^*Tx=x,x\in\mathcal{D}(T^*T)$

Mi punto es que ahora, puede ocurrir que: $\mathcal{D}(T^*)=\{0\}$
Así que en este caso la ecuación anterior parece trivialmente cierto como: $\mathcal{D}(T^*T)=\mathcal{N}(T)=\{0\}$

Es que no me queda claro si esta situación en particular puede ocurrir, pero es posible que la sth. aparentemente similares pueden suceder, por lo que la propiedad no se aplica la preservación del producto escalar?

...sin duda, un operador debe ser acotada de lo contrario, se podría extender el dominio de todo el Espacio de Hilbert, el adjunto, entonces sería definido en todas partes y en devolver la propiedad anterior implica la preservación de la escalares oroduct por la construcción...

Answer 1

Sí, esto puede suceder. De hecho, se dice, precisamente, donde el operador es isométrica:

Si es isométrica en algún lugar del rango pertenecen al dominio por lo que el medico adjunto actuará como una izquierda inversa. Por el contrario, si el medico adjunto actúa como una izquierda inversa en algún lugar, a continuación, el operador actúa isométricamente allí.

Por otra parte, a continuación, en el isométrica parte del operador es acotado.

Por lo que la consecuencia es que el adjunto es una izquierda inversa si el operador es isométrico y, a continuación, por lo tanto acotada