La norma matricial para una matriz A de n por n se define como |A|=max(|Ax|) donde x abarca todos los vectores con |x|=1, y la norma sobre los vectores en R^n es la euclídea habitual. También se denomina norma inducida (matricial), norma del operador o norma espectral. La bola unitaria de matrices bajo esta norma puede considerarse como un subconjunto de R^(n^2). ¿Cuál es el volumen euclídeo de este conjunto? Me interesaría conocer la respuesta incluso sólo en el caso de 2 por 2.
Respuestas
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lfaraone
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580
Sí, O(n) es el espacio dimensional n(n-1)/2 de matrices ortogonales de n por n. Vol(O(n)) es su volumen.
El integrando en la respuesta es simplemente el Jacobiano de la descomposición del valor singular, {s_ i} es simplemente el conjunto ordenado del valor singular y la integración se realiza en el subconjunto limitado por 1.
Puede que se me haya escapado un factor de 1/2^n debido a la ambigüedad de signos en los valores singulares svd
CTKeane
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530
Sobre el 2x2 caso: Como Mike puntos, usted puede escribir una fórmula explícita para la norma de la matriz {{a,b},{c,d}}. Se tarda un buen rato, pero Mathematica puede entonces calcular el volumen que estás pidiendo.
Integrate[If[a^2 + b^2 + c^2 + d^2
+ Sqrt[((b+c)^2 + (a-d)^2) ((b-c)^2 + (a+d)^2)] <= 2, 1, 0],
{a, -1, 1}, {b, -1, 1}, {c, -1, 1}, {d, -1, 1}]
Su respuesta es: 2π2/3.
Para la comparación: el volumen de la distancia Euclídea pelota en R4 es π2/2 (que se contradice con Mike final de la declaración de que la norma de la matriz de la bola se encuentra dentro de la distancia Euclídea).
Joseph Pecoraro
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2200
No es que esto es demasiado útil, pero en el caso de un 2 x 2 de la matriz A (diagonal con entradas a y d y fuera de la diagonal de entradas b y c real) de la norma de la matriz está dado por la fórmula $\frac{1}{2}(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + \sqrt{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2} - 4D})$ donde $D = det(A^{*}A)$. Es bastante feo región, pero al menos se puede calcular en términos de a, b, c, y d y esta unidad de la bola se sentará en el interior de la distancia Euclídea pelota en R^{4}.
Whisk
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1903
El volumen de la bola unitaria para la norma espectral en matrices reales nxn viene dado por la fórmula
$$ c_n \int\limits_{[-1,1]^n} \prod_{i < j} |x_i^2-x_j^2| dx_1\dots dx_n $$
donde $c_n = n! 4^{-n} \prod_{k=1}^n v_k^2$
y $v_k=\pi^{k/2}/\Gamma(1+k/2)$ es el volumen de la bola unitaria en R^n.
Aparece una fórmula mucho más general para calcular todo tipo de cantidades similares por ejemplo aquí (Lemma 1). La prueba consiste en aplicar la descomposición SVD como cambio de variables.
Los primeros valores son
- 2/3 π 2 para matrices 2x2
- 8/45 π 4 para matrices de 3x3
- 4/1575 π 8 para matrices 4x4 ...
Puede que exista una fórmula cerrada para la integral anterior. Edit : ¡¡¡tal fórmula aparece en el post de Armin más abajo!!!
Edificio en la bonita respuesta de Guillaume: La integral
$$ \int_{[-1,1]^n} \prod\_{i < j} |x_i^2 - x_j^2 | dx_1\dots dx_n $$
tiene la forma cerrada de la evaluación
$$ 4^n \prod_{k \leq n} \binom{2k}{k}^{-1}.$$
Esto sigue, básicamente, a partir de la evaluación de la Selberg beta integral Sn(1/2,1,1/2).
Combinado con el modding a cabo por un error tipográfico, llegaremos a la siguiente formula para el volumen de la unidad de la bola de matrices de nxn en la matriz de la norma:
$$ n! \prod_{k\leq n} \frac{ \pi^k }{ ((k/2)! \binom{2k}{k})} .$$
En particular, tenemos:
- 2/3 π2 para n=2
- 8/45 π4 para n=3
- 4/1575 π8 para n=4
