¿Es la imagen de cada conjunto abierto en una función lineal discontinua cero denso en $\mathbb{R}$?

Question

¿Dado un espacio normado $V$ $\mathbb{R}$, es cierto que la imagen de cada conjunto abierto de una función lineal discontinua cero $V$ $V\to\mathbb{R}$ es densa en $\mathbb{R}$? Yo no pude probar o refutar, gracias.

Answer 1

Supongo que % lineal $L: V \to \mathbb{R}$es discontinuo, es decir, sin límites. Mostraremos que la imagen de una bola unidad abierta es todo $R$. $L$ Es discontinuo, hay una secuencia $u_1, u_2, \ldots$ tales que para todos los $n$, $||u_n|| n$. Tomar cualquier $x \in \mathbb{R}$. Hay algunos número natural $k$ tal que $|x| k$, $\left|\frac{x}{L(u_k)}\right|

Answer 2

Que $O$ ser un subconjunto abierto no vacío de $V$ y $f : V \to \mathbb{R}$ ser un discontinuo funcional. En particular, existen $x \in O$ y $\rho>0$ tal que $B:=B(x,\rho) \subset O$.

Porque $f$ es lineal, $f(B)$ es convexo (desde $B$ es convexo) así $f(B)$ es un intervalo. Pero no limita $f(B)$ ($f$ es discontinua en el $x$) y es simétrica con respecto a los $f(x)$ (desde $f$ es lineal), así $f(B)= \mathbb{R}$.

Deducen que $f(O)= \mathbb{R}$.