¿Es el núcleo del producto de dos operadores diferenciales de transporte la suma de los granos?

Question

Considere la ecuación de onda en una dimensión:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0.$$

La solución más general de esto puede ser escrita como $F(x-t)+G(x+t)$ $F, G$ de funciones arbitrarias. Suele decirse que esto es una consecuencia de la factorización

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}=\left( \frac{\partial }{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( \frac{\partial }{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\right).$$

¿Es esto un hecho general? ¿Si un operador diferencial $D$ factores en el producto de las dos (desplazamientos) los operadores $A, B$ luego el núcleo de $D$ puede expresarse como la suma de los núcleos de $A$ y $B$, tal vez?

Answer 1

Si no me equivoco la pregunta, la respuesta es no, porque no es cierto incluso para la Plaza de un operador: soluciones al $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=0$ no son solo sumas de dos de las soluciones constantes de $\frac{d}{dx}f(x)=0$.

Answer 2

Claramente, $\mathrm{ker}(A)\cup\mathrm{ker}(B)\subset\mathrm{ker}(AB)$, y si los operadores son lineales, entonces el $\mathrm{ker}(A)\oplus\mathrm{ker}(B)\subset \mathrm{ker}(AB)$. Pero tomar $f(x,t)=x$. Entonces, dado $A=\partial{t}-\partial{x}$ $B=\partial{t}+\partial{x}$, $f$ es en ni $\mathrm{ker}(A)$ ni en $\mathrm{ker}(B)$. Pero claramente, $f\in \mathrm{ker}(AB)$, en general $\mathrm{ker}(A)\cup\mathrm{ker}(B)\subsetneq\mathrm{ker}(AB)$.