Ecuación del movimiento de una partícula cargada

Question

Para calcular las ecuaciones de movimiento de una partícula neutra en el campo gravitacional, se necesita el tensor métrico $g_{\mu \nu}$ y $g^{\mu \nu}$ para calcular los símbolos de Christoffel

$${\Gamma^{\rm i}_{\rm j k} = \sum _{\rm s=1}^4 \ \frac{{{g}}^{\rm i s}}{2} \left(\frac{\partial {g}_{\rm s j}}{\partial {\rm x^k}}+\frac{\partial {g}_{\rm s k}}{\partial {\rm x^j}}-\frac{\partial {g}_{\rm j k}}{\partial {\rm x^s}}\right)}$$

y obtener la aceleración de coordenadas de la partícula de prueba:

$${{\rm \ddot x^{i} = -\sum _{j=1}^4 \sum _{k=1}^4 \ \dot x^j \ \dot x^k \ \Gamma^{i}_{j k}}}$$

Pero en la vecindad de una carga, no sólo existe el tensor métrico, que podría tener el siguiente aspecto

$$g_{\mu \nu}=\left( \begin{array}{cccc} g_{\rm t t} & 0 & 0 & g_{\rm t \phi} \\ 0 & g_{\rm r r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g_{\rm \theta \theta} & 0 \\ g_{\rm t \phi} & 0 & 0 & g_{\rm \phi \phi} \\ \end{array} \right)$$

donde el $g$ -son funciones de las coordenadas y de la masa, la carga y el espín, pero también un potencial de Coulomb, que se parece a

$$\rm A_{\alpha}=(Q/r,0,0,0)$$

¿Cómo se introduce el potencial de Coulomb en la ecuación geodésica? El tensor métrico es un $4 \times 4$ matriz, pero el potencial de Coulomb parece ser $1 \times 4$ como se suman para encontrar las geodésicas $\rm \ddot x^i$ de una partícula cargada de carga $\rm q$ en las proximidades de una masa de carga dominante $\rm Q$ ?

En Wikipedia He encontrado la ecuación

$${{\rm \ddot x^i = - \Gamma^i_{j k}{\dot x^j}{\dot x^k}\ +\frac{q}{m} \ {F^{i k}} \ {\dot x^j}} \ {g_{\rm j k}}}$$

pero no existe una definición de ${\rm F^{i k}}$ que es, como mencionaron Chrisoph y Eddy, el tensor electromagnético. Pero, ¿cuál es el tensor electromagnético para la métrica de Kerr-Newman en coordenadas esféricas (Boyer Lindquist)?

Edición: gracias por las respuestas, eso es lo que tengo hasta ahora: Captura de pantalla

Answer 1

Has dejado de leer demasiado pronto. Citando la página de Wikipedia a la que has enlazado:

La ecuación de movimiento resultante es la siguiente:

$$ {d^2 x^\mu \over ds^2} =- \Gamma^\mu {}_{\alpha \beta}{d x^\alpha \over ds}{d x^\beta \over ds}\ +{q \over m} {F^{\mu \beta}} {d x^\alpha \over ds}{g_{\alpha \beta}}. $$

con

$$ {g_{\alpha \beta}}{d x^\alpha \over ds}{d x^\beta \over ds}=-1. $$

Aquí, $F^{\mu\nu}$ denota el tensor de campo electromagnético dado por

$$ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $$

en su encarnación con índices reducidos.

En cuanto a su edición, en coordenadas Boyer-Lindquist, $A$ viene dada por

$$ A = \frac{Qr}{\rho^2}(dt-a\sin^2\theta d\phi) + \frac{1}{\rho^2}P\cos\theta \left(a dt -(r^2+a^2)d\phi\right) $$

donde

$$ \rho^2(r,\theta) = r^2+a^2 \cos^2 \theta $$

según este documento Acabo de buscar en Google.

Answer 2

$F$ es el Tensor electromagnético

Edición: esta respuesta se publicó en respuesta a la pregunta original, que puede parafrasearse como "Encontré esta ecuación en Wikipedia, ¿qué significa este término?", y está claro por la edición posterior de los OPs que esto ayudó a reducir lo que realmente querían saber.