Ejercicio II.5.1 de Hartshorne - Fórmula de proyección

Question

Estoy tratando de resolver el ejercicio 5.1 del capítulo II de Hartshorne - Geometría algebraica .

Estoy bien con la primera $3$ partes, pero estoy teniendo problemas con la última parte, que pide probar la fórmula de proyección :

Dejemos que $f:X\to Y$ sea un morfismo de espacios anillados, $\mathscr{F}$ un $\mathcal{O}_X$ -módulo y $\mathcal{E}$ un local libre $\mathcal{O}_Y$ -de rango finito. Entonces existe un isomorfismo natural $$ f_*(\mathscr{F}\otimes f^*\mathcal{E}) \;\cong\; f_*(\mathscr{F})\otimes \mathcal{E} $$

Después de pensarlo bastante tiempo, he consultado en internet y he encontrado la siguiente solución:

$$ \begin{eqnarray} f_*(\mathscr{F}\otimes f^*\mathcal{E}) &\;\cong\;& f_*(\mathscr{F}\otimes \mathcal{O}_X^{\,n}) \\\\ &\;\cong\;& f_*(\mathscr{F}\otimes \mathcal{O}_X)^{n} \\\\ &\;\cong\;& f_*(\mathscr{F})^{n} \\\\ &\;\cong\;& f_*(\mathscr{F})\otimes \mathcal{O}_Y^{\,n} \\\\ &\;\cong\;& f_*(\mathscr{F})\otimes \mathcal{E} \\\\ \end{eqnarray} $$

¿Es esto correcto? Si lo es, ¿podría explicarme por qué tenemos el isomorfismo $$ f_*(\mathscr{F}\otimes \mathcal{O}_X^{\,n}) \;\cong\; f_*(\mathscr{F}\otimes \mathcal{O}_X)^{n} \quad ? $$

Answer 1

Como dijo Martin, primero hay que encontrar un morfismo entre las dos gavillas, luego se puede usar esa solución localmente. Así que, aquí está el morfismo.

Considera en $Y$ la hoja de cálculo $P$ con secciones $V\mapsto \mathscr{F}(f^{-1}(V))\otimes\mathcal{E}(V)$ para todos $V\subseteq Y$ abierto. La sheafificación de $P$ es $f_*(\mathscr{F})\otimes\mathcal{E}$ .

Del mismo modo, considere $P'$ el presheaf en $X$ con secciones $U\mapsto\mathscr{F}(U)\otimes f^*\mathcal{E}(U)$ . La sheafificación de $P'$ es $\mathscr{F}\otimes f^*\mathcal{E}$ .

Ahora, para todos los abiertos $V\subseteq Y$ Tenemos un moprhismo $\mathcal{E}(V)\to f^*\mathcal{E}(f^{-1}(V))$ esto da un morfismo

$$P(V)=\mathscr{F}(f^{-1}(V))\otimes\mathcal{E}(V)\to\mathscr{F}(f^{-1}(V))\otimes f^*\mathcal{E}(f^{-1}(V))=f_*P'(V)$$

Por lo tanto, tengo un morfismo natural $\phi:P\to f_*P'$ . Ahora, tengo el morfismo de sheaficación $P'\to P'^{sh}=\mathscr{F}\otimes f^*\mathcal{E}$ Por lo tanto, un morfismo $f_*P'\to f_*(\mathscr{F}\otimes f^*\mathcal{E})$ que, compuesto con $\phi$ da un morfismo natural $P\to f_*(\mathscr{F}\otimes f^*\mathcal{E})$ . Finalmente, pasando a la sheafificación de $P$ obtengo un morfismo

$$\psi:f_*(\mathscr{F})\otimes\mathcal{E}\to f_*(\mathscr{F}\otimes f^*\mathcal{E})$$

¡Qué lío! Afortunadamente, cuando restringimos a un conjunto abierto donde $\mathcal{E}$ es gratis, todo se ve más bonito.

Entonces, restringe a un conjunto abierto $W\subseteq Y$ donde $\mathcal{E}$ es gratis. Ahora, $\mathcal{E}$ y $f^*\mathcal{E}$ son libres, por lo que puede comprobar fácilmente que $P$ y $P'$ ya son gavillas, por lo que $\psi=\phi=\operatorname{id}\otimes\gamma$ donde tenemos $\gamma:\mathcal{E}\to f_*f^*\mathcal{E}$ . Pero, para $\mathcal{E}$ libre, se puede comprobar fácilmente que se trata de un isomorfismo.

p.s: el pasaje de la prueba que has encontrado no es claro tal vez es más simple si se ve de esta manera: $f_*(\mathscr{F}\otimes \mathcal{O}_X^{\,n})\;\cong\; f_*(\mathscr{F}^{n})\cong f_*(\mathscr{F})^n$ y puede "tomar el $n$ fuera" sólo aplicando la definición de $f_*$ .

Answer 2

$\newcommand{\H}{\operatorname{Hom}{}}$ $\newcommand{\HH}{\mathscr{H}}$ La parte crucial es encontrar un morfismo natural $f_*F\otimes E \to f_*(F\otimes f^* E)$ entonces es fácil comprobar que afín-localmente se trata de un isomorfismo. Para encontrar el mapa usaremos $3$ hechos (denotamos por $\HH$ la gavilla de Hom):

1. Ejercicio 5.1.c de [HAG] : $$ \H_X(A\otimes B,\; C) \cong \H_X(A,\; \HH_X(B,C)) $$

2. El conocido isomorfismo de la adjunción : $$\H_Y(f_* F,\; E ) \cong \H_X (F,\; f^*E)$$

3. Identidad que se desprende de las definiciones del $\HH$ y de pushforward : $$f_* \mathscr{H}om_X(A,\;B) \cong \mathscr{H}om_Y(f_* A,\; f_* B)$$

Así, el isomorfismo que buscamos es un elemento de $\H_Y(f_*F\otimes E,\; f_*(F\otimes f^* E))$ y utilizando los hechos anteriores encontramos $$ \begin{eqnarray} \H_Y(f_*F\otimes E,\; f_*(F\otimes f^* E)) &\overset{(1)}\cong& \H_Y(E,\; \HH_Y(f_*F,\;f_*(F\otimes f^* E))) \\ &\overset{(3)}\cong& \H_Y(E,\; f_*\HH_X(F,\;(F\otimes f^* E))) \\ &\overset{(2)}\cong& \H_X(f^*E,\; \HH_X(F,\;(F\otimes f^* E))) \\ &\overset{(1)}\cong& \H_X(F \otimes f^*E,\; F\otimes f^* E) \end{eqnarray} $$ Por lo tanto, la identidad hace el trabajo y obtenemos el mapa natural que deseábamos.

Para concluir, sólo tenemos que demostrar que, de hecho, se trata de un isomorfismo. Como todos los funtores implicados conmutan con restricciones abiertas, podemos reducir al caso afín y suponer $E$ es libre. Se puede comprobar que el mapa global anterior concuerda con la cadena de isomorfismos \begin {eqnarray*} f_*(F \otimes f^*E) &\; \cong\ ;& f_*(F \otimes \mathcal {O}_X^{\},n}) \\ &\; \cong\ ;& f_*(F \otimes \mathcal {O}_X)^{n} \\ &\; \cong\ ;& f_*(F)^{n} \\ &\; \cong\ ;& f_*(F) \otimes \mathcal {O}_Y^{\\},n} \\ &\; \cong\ ;& f_*(F) \otimes E \end {eqnarray*} donde utilizamos varias veces el hecho de que los funtores involucrados son aditivos y por lo tanto conmutan con sumas directas finitas.

Answer 3

La fórmula de adjunción en Hartshorne, y la que yo mismo probé, es que $$ \hom_X(f^*E,F) \simeq \hom_Y(E,f_*F)$$ ¿Cómo se deduce el que se utiliza aquí de éste? ¿Es un sinsentido general?