Demostrando que la extensión de campo $\mathbb{Q}(T^{1/4})/ \mathbb{Q}(T)$ no es Galois

Question

Demostrar que $\mathbb{Q}(T^{1/4})$ no es Galois sobre $\mathbb{Q}(T)$ donde $T$ es indeterminado.

No estoy seguro de cómo proceder, debido a lo indeterminado. Esto es suficiente para mostrar que el grado de $\mathbb{Q}(T^{1/4})$$\mathbb{Q}$, es mayor que el $\vert \text{Aut}(\mathbb{Q}(T^{1/4})/\mathbb{Q}) \vert$. El grado de la extensión de campo es $4$ desde el polinomio mínimo de a $T^{1/4}$ sobre el campo base es $x^4-T$. No estoy seguro de si la siguiente factorización tiene sentido ya que los $T$ es indeterminado: $x^4-T=(x^2-T^{1/2})(x^2+T^{1/2})=(x-T^{1/4})(x+T^{1/4})(x-iT^{1/4})(x+iT^{1/4})$; esta factorización se supone que $T$ es un número real positivo. Si esta factorización es correcto, no el grupo de Galois tiene 4 elementos generados por los mapas $f:i \mapsto i, T^{1/4}\mapsto iT^{1/4}$, $g:i\mapsto -i, T^{1/4}\mapsto T^{1/4}$?

Answer 1

El % de la extensión $\Bbb Q(T^{1/4})/\Bbb Q(T)$no es una extensión de Galois, puesto que el polinomio mínimo de $T^{1/4}$, que de hecho es $X^4-T$, no se puede factorizar en la extensión; tiene raíces que no están en la extensión:

$$(X^4-T)=(X^2-T^{1/2})(X^2+T^{1/2})=(X-T^{1/4})(X+T^{1/4})(X^2+T^{1/2})$$

Pero el último factor no tiene ninguna raíz en $\Bbb Q(T^{1/4})$.

Observe que el campo División de $X^4-T$ $\Bbb Q(T^{1/4},i)$.

Answer 2

Su factorización trabaja perfectamente. $\mathbb{Z}[T]$ es sólo un factorial de anillo, de modo que usted puede aplicar lo que sabe acerca de general factorial de los anillos. Su campo de fracciones es $\mathbb{Q}(T)$. Si $K$ es cualquier campo, a continuación, $i$ indica la presencia de un elemento en una extensión algebraica de $K$$i^4=1$$i^2 \neq 1$.

El automorphism grupo de $\mathbb{Q}(T^{1/4})$ $\mathbb{Q}(T)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, ya que el $\pm T^{1/4}$ son sólo las raíces de $X^4 - T$$\mathbb{Q}(T^{1/4})$.

La normal de cierre de $\mathbb{Q}(T^{1/4})$$\mathbb{Q}(T)$$\mathbb{Q}(T^{1/4},i)$. Esta es la división de campo de la $X^4 - T$, y tiene el grupo de Galois que usted ha descrito.