Sustituir una suma por una integral $\sum\rightarrow \int$

Question

Cómo se puede convertir una suma en una integral. Ejemplo:

$$\sum_k f(k) \approx N\cdot\int_k dk\, f(k).$$ ¿Cómo se encuentra el factor $N$ ?

Las cantidades deben ser aproximadamente iguales.

Ejemplo de la página de Peskin y Schroeder $374$ :

$$\tag{11.71}\mathrm{Tr} \log (\partial^2+m^2) = \sum_k \log(-k^2+m^2) = >(VT)\cdot\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\log(-k^2+m^2),$$

donde $VT$ es el volumen cuatridimensional de la integral funcional.

¿Por qué este $VT$ aparecen en la ecuación $(11.71)$ ?

Answer 1

Esta es una pregunta de física (o al menos el contexto lo es), así que estás advertido: seguirán las explicaciones no rigurosas.

Para el 1D. Tome una caja (espacio real) con volumen $V = L$ y lo discretizamos en un entramado utilizando $n$ puntos. Esto da lugar al siguiente entramado espacial de Fourier: $k = \frac{i}{n}k_{\rm max}$ para $i=-n,\ldots,n$ donde $k_{\rm max} = \frac{2\pi n}{L}$ . Esta es la configuración del problema.

Para encontrar $N$ s.t.

$$\sum_k \approx N \int dk$$

primero observamos que

$$\sum_k = 2n$$

es el número de $k$ modos que podemos encajar en nuestra red. Además tenemos (nótese que la integral aquí debe interpretarse como la integral sobre los modos que tenemos disponibles, así que sólo integramos sobre $[-k_{\rm max},k_{\rm max}]$ )

$$\int dk = 2k_{\rm max}$$

así que

$$N = \frac{n}{k_{\rm max}} = \frac{V}{2\pi}$$

Esto era para 1D, pero el procedimiento anterior puede hacerse para el caso general dando

$$N = \frac{V_{4D}}{(2\pi)^4} = \frac{V T}{(2\pi)^4}$$

Answer 2

Definir una medida $\mu$ en $\mathbb R$ por $\mu(A)=|A\cap\mathbb Z|$ .

Entonces $\sum_{k\in\mathbb Z}f(k)=\int f\operatorname{d}\mu$ .

De este modo, una suma se convierte en una integral.

Answer 3

Si $f$ es no creciente, $$\int_0^{n}f(x)\,\mathrm dx+f(n)-f(0)\leqslant\sum_{k=1}^nf(k)\leqslant\int_0^nf(x)\,\mathrm dx.$$ Si $f$ no es decreciente, $$\int_0^{n}f(x)\,\mathrm dx\leqslant\sum_{k=1}^nf(k)\leqslant\int_0^nf(x)\,\mathrm dx+f(n)-f(0).$$ Sin prefactor $N$ a la vista...