¿Función Zeta pero con otro conjunto de números?

Question

Todos conocemos la función zeta de Riemann, donde $s$ es un número complejo:

$$ \sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^s} $$

Pero ¿qué pasa con la sustitución de todos los naturales $n$ s con $p_n$ ¿Primas? ¿Hay algo sobre una función como ésta por ahí y/o vale la pena explorarla?

¿Qué hay de los números compuestos para $n$ ?

¿Y si se utiliza otro conjunto de números, por ejemplo, utilizando $F_n$ ¿Números de Fibonacci?

¿Pueden expresarse estas funciones mediante la función zeta?

En otras palabras, estoy buscando todo o al menos cualquier cosa fuera que explore o mencione una función como la función zeta pero los números naturales son reemplazados por algún otro conjunto "famoso" de números, por ejemplo primos, o compuestos, o fibonaccis...

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Editar

Parece que Función zeta primera y Función zeta de Fibonacci estaban "a un google de distancia", mi error por tratar de buscar "funciones zeta" que me llevó a algunas de las generalizaciones sólo, en lugar de las funciones específicas.

La pregunta que sigue es: ¿alguien ha intentado en algún lugar explorar una función similar a estas dos pero con algún otro conjunto de números y ha encontrado algo interesante?

Esto puede parecer una pregunta vaga, así que no me sorprenderá si se vota para cerrarla, pero vale la pena intentarlo si alguien que lea esto sabe de algo.

Answer 1

Por suerte para ti, resulta que hay un función zeta primera y si quieres números compuestos, sólo tienes que restar la zeta de los primos a la zeta de Riemann.

$$P(s)=\sum_p\frac1{p^s}$$

Algunas asíntotas básicas:

$$P(s)\sim\log\zeta(s)\sim\log\frac1{s-1}$$

Como $s\to1$ .

También podríamos tener

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{F_n}{n^s}=\frac{\operatorname{Li}_s(\phi)-\operatorname{Li}_s((-\phi)^{-1})}{\sqrt5}$$

Que son polilogaritmos y razones áureas. Pero no estoy muy seguro de $\sum\limits_{f}\frac1{f^s}$ .

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En general,

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}$$

Se llama serie de dirichlet.