Prueba puramente geométrica de que los círculos invierten a los círculos

Question

Hace poco vi a Douglas Hofstadter recordar al principio de una charla sobre Teorema de Feuerbach el hecho de que bajo la inversión de círculos, los círculos (que no pasan por el centro de la inversión) mapean a círculos. Para ello utilizó el hecho de que si dos ángulos inscritos cortan el mismo arco, deben tener igual medida (teorema del ángulo acorde).

Intenté redescubrir la prueba, pero concluí que su teorema del ángulo de la cuerda era inútil. Suponiendo que su definición de la inversión del círculo invierte efectivamente las distancias desde el centro, debe utilizar también algún resultado sobre la distancia, pero la potencia de un punto demuestra la inversión del círculo fácilmente sin referencia directa al teorema del ángulo de la cuerda.

¿Existe una prueba conocida que incluya el teorema del ángulo de la cuerda?

Answer 1

Aquí hay una demostración directa del teorema de los círculos invertidos en círculos, donde el eje es el Teorema del Ángulo Inscrito (más específicamente, Teorema de Tales : Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto .).

Considere un punto $C$ en algún círculo. Deseamos invertir $C$ en un círculo con centro $O$ . Dejemos que $\overline{AB}$ sea el diámetro de $C$ El círculo de la empresa es tal que $O$ , $A$ , $B$ son colineales. Dejemos que las inversiones de $A$ , $B$ , $C$ sea $A^\prime$ , $B^\prime$ , $C^\prime$ .

Recordemos que la naturaleza de la inversión es que $$|\overline{OX}||\overline{OX^\prime}| = \left(\;\text{radius of $ \N - O $}\;\right)^2 \tag{1}$$ El radio es irrelevante; lo que importa es el producto constante, por lo que tenemos $$|\overline{OA}||\overline{OA^\prime}| = |\overline{OB}||\overline{OB^\prime}| = |\overline{OC}||\overline{OC^\prime}| \tag{2}$$

Esto nos permite argumentar lo siguiente: $$\begin{align} \frac{|\overline{OA}|}{|\overline{OC}|} = \frac{|\overline{OC^\prime}|}{|\overline{OA^\prime}|} &\implies \triangle OAC \sim \triangle OC^\prime A^\prime \implies \angle A^\prime C^\prime C = \angle A \tag{3a} \\[8pt] \frac{|\overline{OB}|}{|\overline{OC}|} = \frac{|\overline{OC^\prime}|}{|\overline{OB^\prime}|} &\implies \triangle OBC \sim \triangle OC^\prime B^\prime \implies \angle B^\prime C^\prime O = \angle B \tag{3b} \end{align}$$

En consecuencia, $$\angle ACB \cong \angle A^\prime C^\prime B^\prime \tag{4}$$

Ahora, Tales nos prepara y nos lleva a casa...

$$\begin{align} \text{$C$ lies on a semicircle on $\overline{AB}$}\quad &\implies\quad \text{$\angle ACB$ is a right angle} \\[6pt] &\implies\quad \text{$\angle A^\prime C^\prime B^\prime$ is a right angle} \\ &\implies\quad \text{$C^\prime$ lies on a semicircle on $\overline{A^\prime B^\prime}$} \end{align}$$

Por lo tanto, los puntos de una circunferencia se invierten en puntos de otra circunferencia, y (con algunas manipulaciones sobre la continuidad y la biyección) hemos terminado. $\square$

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De hecho, la restricción al Teorema de Tales y a los ángulos y diámetros rectos es innecesaria. Podemos tomar $\overline{AB}$ para ser cualquier (no degenerada) cuerda de $C$ siempre que sea colineal con $O$ y la prueba funciona efectivamente como está, requiriendo sólo que sustituyamos "ángulo recto" y "semicírculo" por descriptores adecuadamente genéricos.

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A petición de los interesados, aquí están los diagramas para diversas configuraciones. En todos los casos, $(2)$ conduce a triángulos similares que implican $(3a)$ , $(3b)$ y, en última instancia $(3c)$ para que $\angle A^\prime C^\prime B^\prime$ es un ángulo recto. "Normalmente", esto significa que $C^\prime$ se encuentra en un círculo regular con diámetro $\overline{A^\prime B^\prime}$ Cuando $A=O$ tenemos que $A^\prime$ es el "punto en el infinito", y vemos que $C^\prime$ se encuentra en la línea perpendicular (es decir, un círculo de radio infinito) que pasa por $B^\prime$ .