Es la serie convergente $x + x^{1+\frac{1}{2}}+x^{1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}}+\cdots$

Question

$$x + x^{1+\frac{1}{2}}+x^{1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}}+\cdots$$

Sé que $un = \lim{n \to \infty} x^{1/n}$

Yo raíz y prueba de la relación pero no funciona.

Answer 1

Respuesta parcial:

El término de th de $n$ es

$$x^{1+{1\over2}+\cdots+{1\over n}}\approx x^{\log n}=e^{\log x\log n}=n^{\log x}$$

por lo que se puede esperar de la serie a converge cuando $\log x\lt-1$ y divergen cuando $\log x\gt-1$. Es un poco confuso lo que pasa cuando $\log x=-1$ (desde $n^{\log x}$ es sólo una aproximación).

Answer 2

Escribir $H_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$. Se puede demostrar que $\ln n<H_n\leq (\ln n)+1$. Para $x\geq 1$ la serie diverge claramente, por lo que asumen $x<1$. Entonces $$xn^{\log x}=xe^{\log x\log n}=x^{(\log n)+1}>x^{H_n}>x^{\log n}=e^{\log x\log n}=n^{\log x}.$$ Por lo tanto se puede comparar con el $p$de la serie, $p=\log x$. Converge iff $\log x=p<-1$, es decir,$x<\frac{1}{e}$.

(nota: $x>0$ es asumido en toda. Si $x<0$ elementos de la serie no están bien definidos, $x=0$ es trivial.)

Answer 3

La $\enspace \ln n +\gamma <h_n>Tenemos $\enspace\displaystyle\frac{1}{e^\gamma(n+1)}

que es válida para $$ e^{-\gamma x}(\zeta(x)-1)

Sigue que $\,x>1\,$ existe para $\enspace\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty x^{H_n}\enspace$.

</h_n>