¿Por qué es un punto de p nunca el límite de un conjunto contable de ultrafilters no principales?

Question

Hay varias descripciones, pero creo que la siguiente definición de p-punto de trajes de ahora:

Un punto tal que la intersección de countably muchos barrios de la misma, es de nuevo un barrio.

En el artículo que estoy leyendo (http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/ufdyn.pdf), fácilmente se dice 'p-punto son, en su descripción topológica, nunca el límite de una contables conjunto de otros no-principal ultrafilters'.

Puede alguien explicar esto a mí? Gracias de antemano!

Answer 1

Hablando puramente topológicamente, considere la posibilidad de cualquier T$_1$ espacio topológico $X$, y P-punto de $x \in X$. Supongamos que $\langle x_n \rangle_{n \in \omega}$ es una secuencia de puntos distintos en $X$. Por T$_1$-dad de cada una de las $n$ existe un abierto de vecindad $U_n$ $x$ que no contenga $x_n$. Pero como $x$ es un P-punto, a continuación,$x \in \mathrm{Int} ( \bigcap_n U_n )$, e $\bigcap_n U_n$ contiene ninguno de los puntos de la secuencia.

Esto no solo muestra que $x$ no es un secuencial límite de no trivial de la secuencia en la $X$, pero también que $x$ no es un $\mathcal{U}$-límite (para cualquier ultrafilter $\mathcal{U}$$\omega$) de no trivial de la secuencia en la $X$. Aún más: un P-punto no está en el cierre de cualquier contables (la anterior prueba de realidad muestra que este, y los demás son simples consecuencias de esto).