Pequeña oscilación del péndulo esférico

Question

Estoy usando Arnol d el libro sobre ordinario differetial ecuaciones. Estoy teniendo dificultad con problemas después de que el ejemplo de las pequeñas oscilaciones de un péndulo esférico.

Tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales $\dot{x}_1=x_2$, $\dot{x}_2=-x_1$, $\dot{x}_3=x_4$, $\dot{x}_4=-x_3$.

Problema 1. Demostrar que la fase de curvas de este campo de la mentira en las tres dimensiones en las esferas $x_1^2+\cdots+x_4^2=const$.

Yo sé cómo hacer esto, porque uno de la fase de curvas definidas por $x_1^2+x^2=c_1$$x_3^2+x_4^2=c_2$.

Problema 2. Demostrar que la fase de curvas de gran radio de estas esferas.

¿Cuál es la definición de un gran círculo de $S^3$? Yo sólo conozco la definición de grandes círculos de $S^2$.

Problema 3. Demostrar que el conjunto de todos los de la fase de curvas en cada una de las tres dimensiones de la esfera propia forma de dos dimensiones de la esfera.

Primero tengo que averiguar lo que el autor quiere decir aquí. Qué quiere decir que en cada una de las tres dimensiones de la esfera, la unión de toda la fase de curvas en forma de dos dimensiones de la esfera? Esto no es cierto ya que la unión es el conjunto de tres dimensiones de la esfera. O, ¿quiere decir que en cada una de las tres dimensiones de la esfera, el conjunto en sí es una de dos dimensiones de la esfera cuando está equipado con una topología de una manera natural? Esto no parece cierto, porque este conjunto puede ser indexado por un único parámetro de $c_1$.

Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

En mi pregunta que me hizo la suposición equivocada de que la fase de la curva del sistema es el producto de la fase curvas de los dos sistemas más pequeños que describen el movimiento en dos direcciones. De hecho, para un fijo $c>0$, la $F_c$ de la fase de curvas que se encuentran en la esfera de la $x_1^2+\cdots+x_4^2=c$ es $$\{im(f_{\phi,c_1}) | f_{\phi,c_1}:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R^4}, t\mapsto (\sqrt{c_1}\sin(t),\sqrt{c_1}\cos(t),\sqrt{c-c_1}\sin(t+\phi),\sqrt{c-c_1}\cos(t+\phi)), 0\leq c_1\leq c,0\leq\phi<2\pi \}.$$

Fijo $c_1$$\phi$, los componentes de $f_{\phi,c_1}^3$ $f_{\phi,c_1}^4$ son combinaciones lineales de $f_{\phi,c_1}^1$$f_{\phi,c_1}^2$. Esto nos da dos ecuaciones lineales que definen un plano cuya intersección con la esfera,$x_1^2+\cdots+x_4^2=c$$im(f_{\phi,c_1})$. Como este plano pasa por el centro de la esfera, la intersección es un gran círculo.

Si definimos la distancia entre dos elementos de la $F_c$ a su distancia de Hausdorff, vemos que $F_c$ es la suspensión de la $$([0,2\pi[\times [0,c]) / \{(\phi_1,0)\equiv (\phi_2,0) \mbox{ and }(\phi_1,c)\equiv (\phi_2,c) \mbox{ for all } \phi_1,\phi_2\in [0,2\pi[ \} $$, por lo que una de dos dimensiones de la esfera.