Las tablas y las historias de los métodos de búsqueda de $\int\sec x\,dx$?

Question

El famoso más difícil entre completamente primaria antiderivatives es el de la secante de la función.

Alguien ha tabulado de todas las maneras se puede hacer, o por escrito un poco de la historia completa de ellos, o una cuenta de las conexiones lógicas entre ellos?

¿La sensación de que este particular antiderivada solo pueden ser encontrados por métodos que son inesperados, excepto por la retrospectiva se corresponden de alguna manera a algún precisamente stateable hecho matemático?

Paréntesis: Mira la tangente de la mitad de ángulo fórmula en la forma $$ f(x)= \tan\left(\frac x 2 + \frac\pi4\right) = \tan x + \sec x. $$ La diferenciación de ambos lados de los rendimientos $$ f'(x) = 2\s^2\left(\frac x 2 + \frac\pi4\right) = \s^2 x + \tan^2 x = (\sec x)(\sec x + \tan x) = (\sec x)f(x). $$ Por lo $f$ satisface la ecuación diferencial $$ f'(x) = (\sec x)f(x). $$ $$ \frac{df}{f} = \sec x. $$ Antidifferentiating ambos lados da $\log|f(x)|= \text{the thing sought}$. Es este un "ahí fuera" en algún lugar (en la fuente de publicación o en la web)?

Más tarde edit: tal vez algunas maneras de encontrar esta antiderivada no son ni "inesperado" (en el sentido de ser cosas que se ven a trabajar sólo en retrospectiva), ni aplicable sólo a esta integral. Pero un hecho persiste: un Montón de maneras de hacer esto, que existen en la literatura coinciden con la descripción. Probablemente mucho más que con todos los demás primaria antiderivatives. Así que hay una cuestión de si hay algún hecho matemático que expains ¿por que debe ser cierto sólo de esta integral.

Answer 1

No estoy de acuerdo en que la evaluación de esta integral sólo involucra métodos que son inesperados. En particular, es posible integrar cualquier expresión racional que involucran funciones trigonométricas utilizando la sustitución $$ u = \tan(x/2). $$ Esta sustitución tiene la propiedad de que $$ \sin x \;=\; \frac{2u}{1+u^2},\qquad \cos x \;=\; \frac{1-u^2}{1+u^2}, \qquad\text{y}\qquad dx \;=\; \frac{2\,du}{1+u^2}. $$ Esta es una perfección técnica estándar, aunque por lo general no se enseña en las clases de cálculo más.

Aplicando esto a la integral de la secante da $$ \int \sec x\,dx \;=\; \int \frac{dx}{\cos x} \;=\; \int \frac{2\,du}{1-u^2} \;=\; \ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C \;=\; \ln\left|\frac{1+\tan(x/2)}{1-\tan(x/2)}\right|+C $$ La mayoría de álgebra computacional de los sistemas de uso de esta técnica como parte de su algoritmo de integración, por lo que esta es la respuesta que tiende a obtener si le preguntas a un equipo de la integral de la secante.

Por cierto, si este truco te golpea como inteligente, ser conscientes de que funciona igual de bien para integrar expresiones racionales de seno y coseno usando la identidad de Euler y la sustitución de la $u=e^{ix}$. Esto tiende a involucrar a una gran cantidad de números complejos, pero podría parecer más sencillo que el anterior de sustitución.

En cualquier caso, el único sentido en que la integral de la secante es difícil es que no puede ser evaluado fácilmente el uso de la bolsa de trucos que nos suelen enseñar en las clases de cálculo en la actualidad. Sin embargo, yo no creo que haya nada matemáticamente "natural" sobre el conjunto de trucos que nos enseñan, así que no creo que la dificultad de la integración de la secante tiene real significado matemático.

Edit: Por cierto, la sustitución de $u = \tan(\theta/2)$ corresponde a cierta parametrización del círculo por funciones racionales. En particular, esto es, esencialmente, la proyección estereográfica de la unidad de círculo desde el punto de $(-1,0)$ $y$- eje, con el $\theta/2$ que proviene del hecho de que un ángulo inscrito es la mitad del correspondiente ángulo central. Esta misma parametrización se puede utilizar para enumerar todas las ternas Pitagóricas.

Edit 2: Para ilustrar el punto, he aquí una forma de integración de la secante que sólo supone una "obvia" de sustitución. Deje $u = \cos x$. Entonces $$ du \;=\; - \sin x\,dx \;=\; -\sqrt{1-u^2}\,dx $$ así $$ \int \sec x\,dx \;=\; \int \frac{dx}{\cos x} \;=\; \int\frac{du}{u\sqrt{1-u^2}} \;=\; \mathrm{sech}^{-1}u+ C \;=\; \mathrm{sech}^{-1}(\cos u) + C. $$ Ahora, usted podría objetar el uso de la derivada de la fórmula para $\mathrm{sech}^{-1}$, sobre la base de que esto no es generalmente cubierto en el primer año de un curso de cálculo. Pero, de nuevo, parece arbitraria a mí que vamos a cubrir funciones trigonométricas inversas, pero no hiperbólicas inversas funciones trigonométricas en el primer año de cálculo.

Answer 2

Puesto que usted pida referencias, la forma original de esta integral se ha encontrado, a través de la cartografía, debe tenerse en cuenta. Vea V. F. Rickey y P. M. Tuchinsky, "Una Aplicación de la Geografía a las Matemáticas: Historia de la Integral de la Secante", Mathematics Magazine 53 (1980), 162-166. Está disponible de forma gratuita en JSTOR.