¿Es cierta esta afirmación? $\mathsf{Cov}(X,Y)\geq 0$ , $\mathsf{P}(Y>0)=1$ demuestre que $\mathsf{Cov}\Big(X,\dfrac{1}{Y}\Big)\leq 0$

Question

Intentaba demostrar un problema y me quedé atascado en un punto. El problema lleva a un punto en el que tengo que demostrar:

Déjalo, $X$ y $Y$ son dos v.r. Si $\mathsf{Cov}(X,Y)\geq 0$ y $\mathsf{P}(Y>0)=1$ demuestre que $\mathsf{Cov}\Big(X,\dfrac{1}{Y}\Big)\leq 0$ .

Pero no pude encontrar la manera de pasar de $Y$ a $\dfrac{1}{Y}$ Además, tengo la sensación de que puede haber un contraejemplo del problema. Agradecería cualquier ayuda.

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Gracias a Einar Rødland , pero en el problema que no tenía $(X,Y)$ y $(X, 1/Y)$ mismo en la distribución.

El problema consistía en demostrar si $\mathsf{E}\Big(\dfrac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\Big)\geq 0$ entonces $\mathsf{E}(Z_1-Z_2)\geq 0$ donde $Z_1$ y $Z_2$ son diferentes v.r. positivos y $\mathsf{Cov}(Z_1+Z_2,Z_1-Z_2)\geq 0$

Answer 1

Sea $\Pr(X=-1, Y=1)=1/2$ y $\Pr(X=1, Y=2)=\Pr(X=1, Y=1/2)=1/4$ .

Tenga en cuenta que $(X,Y)$ y $(X,1/Y)$ tienen la misma distribución, ambos con $\text{E}[X]=0$ lo que hizo que el ejemplo fuera un poco más fácil de hacer y explicar.

Eso hace que $\text{Cov}[X,Y]=\text{Cov}[X,1/Y]=1/8$ .