Cómo resolver la integral impropia $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{x^6+9}dx$ (posible sustitución trigonométricas)

Question

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{x^6+9}dx$ $ estoy un poco perplejo como cómo solucionar este integral. Veo que no está definida en - infinito a infinito. Pero sólo necesito tal vez una sugerencia sobre cómo resolver el problema.

Answer 1

Sugerencia: poner $\;u = x^3$, que $\,du \;=\; 3x^2\, dx \;\implies\; x^2\, dx \;= \;\frac 13\, du$

Esto le da %#% $ #%

Buscar familiar?:

Mediante una sustitución más, que $$\frac 13 \int_{-\infty}^\infty \frac {du}{u^2 + (3)^2} $

Y determinar los límites correspondientes para la integración.

Answer 2

Es natural dejar que $u=x^3$. Pero tenga en cuenta que la sustitución $x^3=3u$ es más eficiente.

Answer 3

Con análisis complejo: definir la función compleja

$$f(z)=\frac{z^2}{z^6+9}\;\;,\;\;\text{with simple poles at}\,\,\,z_k:=\sqrt[6] 9\,\,e^{\frac{\pi i}{6}(1+2k)}\;\;,\;k=0,1,2,3,4,5$$

En cuenta que los polos sólo en el plano medio superior % tres primeros los $\,z_0,\,z_1,\,z_2\,$, con residuos

$$Res_{z=z0}(f)=Res{z=z2}(f)=-\frac{i}{18}\;\;,\;\;\;Res{z=z_1}(f)=\frac{i}{18}$$

Elegir el contorno

$$C_R:=[-R,R]\cup\gamma_R:={z\in\Bbb C\;;\;|z|=R\,,\,\Im (z)\ge 0}$$

llegamos, por el teorema Integral de Cauchy, que

$$(**)\;\;\;\;\;\;\;2\pi i\left(\sum{k=0}^2 Res{z=zk}(f)\right)=\frac{\pi}{9}=\oint{CR}f(z)\,dz=\int\limits{-R}^Rf(x)\,dx+\int\limits_{\gamma_R} f(z)\,dz$$

Pero

$$\left|\int\limits_{\gammaR} f(z)\,dz\right|\le\max{z\in \gamma_R}\frac{|z|^2}{|z^6+9|}\pi R\le\frac{\pi R^3}{R^6-9}\xrightarrow[R\to\infty]{}0$$

Pasando así al límite en (*) anteriormente podemos obtener

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{x^2}{x^6+9}dx=\frac{\pi}{9}$$