Sobre una prueba de que el campo de división de un polinomio separable es de Galois

Question

Prop.: Si $f \in F[x]$ es separable, entonces el campo de separación de $f$ en $F$ es una extensión de Galois de $F$ .

Prueba: Por inducción sobre $[E:F]$ où $E$ es el campo de división.

Por los resultados anteriores relativos a las extensiones finitas, sabemos que basta con demostrar que $[E:F] = |\text{Aut}(E/F)|$ .

Si $[E:F]=1$ no hay nada que hacer.

Si $[E:F]>1$ entonces podemos escribir $f=pq$ donde $p,q \in F[x]$ , $p$ irreducible y $\deg p>1$ . Desde $f$ es separable, $p$ es separable. Escribe $$ p(x) := \prod_{i=1}^n (X-\alpha_i), $$ donde $\alpha_i \in E$ son diferentes. Dejemos que $E_i := F(\alpha_i)$ . Entonces $E$ es el campo de división de $f/(x-\alpha_1) \in E_1[x]$ . Desde $m := [E:E_1]<[E:F]$ la hipótesis de inducción nos dice que hay $m$ elementos en $\text{Aut}(E/E_1)$ Digamos que $\text{Aut}(E/E_1) = \{\tau_1, \ldots, \tau_m\}$ . También hay $n$ isomorfismos \begin{align} \sigma_i : E_1 &\to E_i \\ \alpha_1 &\mapsto \alpha_i. \end{align} Cada combinación $(\tau_j, \sigma_i)$ da un elemento en $\text{Aut}(E/F)$ . Por lo tanto, hay $mn$ elementos en $\text{Aut}(E/F)$ . Pero $mn=[E:E_1][E_1:F]=[E:F]$ . $\blacksquare$

Preguntas:

1. Hace $\alpha_i \in E\backslash F$ para todos $i$ ? De hecho, esto se utiliza para deducir $[E:E_1]<[E:F]$ ? Creo que la respuesta a ambas cosas es sí y que $\alpha_i \not\in F$ se deduce de la irreductibilidad de $p$ en $F$ y del hecho de que $e \in E\backslash F$ & $f\in F$ $\implies$ $ef \in E\backslash F$ .

2. Para aplicar la hipótesis de inducción, observamos que $E$ es el campo de división de $f/(x-\alpha_1) \in E_1[x]$ . Pero ¿no es cierto que tenemos más simplemente que $E$ es el campo de división de $f \in E_1[x]$ ?

3. Cuando decimos que cada combinación $(\tau_j, \sigma_i)$ da un elemento en $\text{Aut}(E/F)$ ¿Cuáles son esos elementos? Creo que deben ser algunas composiciones, pero los dominios y codominios de $\tau_j$ y $\sigma_i$ no coinciden del todo... Además, ¿por qué esos $mn$ ¿elementos diferentes?

Answer 1

1. Cualquier raíz de $p$ no puede estar contenido en $F$ , ya que de lo contrario tendrías que $(x-\alpha) \mid p$ para algunos $\alpha \in F$ , $p(\alpha) = 0$ .
2. Piensa en lo que significa resolver este problema de forma inductiva. Lo que estamos haciendo es asumir que $[E:E_1] = |\operatorname{Aut}(E/E_1)|$ . ¿Por qué podemos hacerlo?
3. $\tau_j$ describe los automorfismos de $E$ que dejan $E_1$ fija, y por lo tanto fija todos los conjugados de $a_1$ que es el conjunto de todas las raíces de $p$ . $\sigma_i$ describe isomorfismos de $E_1$ en $E_i$ . Podemos ampliar $\sigma_i$ naturalmente en una acción de $E$ que no afecta a los elementos ortogonales a $\operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$ (ver $E$ como un espacio vectorial sobre $F$ ). Entonces $\tau_j$ y $\sigma_i$ conmutan como automorfismos de $E$ . Además, cualquier automorfismo de $E$ que deja $F$ fija puede ser descrita por su acción sobre los elementos de base de $E$ . No conozco una forma sencilla de justificar esto, pero podemos tener una base $B$ de $E$ que contiene potencias de $\alpha_1$ y elementos ortogonales a $\alpha_1$ . Entonces $\{\tau_j\}$ describe todas las posibles acciones de $B \setminus \{\alpha_1^k\}$ y $\{\sigma_i\}$ describe todas las acciones posibles en $\alpha_1$ por lo que el conjunto de composiciones $\{\tau_j \sigma_i\}$ describe todos los automorfismos de $E$ fijación de $F$ por lo que tenemos que el número de automorfismos es igual a $[E:F]$ .