Dos secuencias que tienen un promedio tienden a cero

Question

Que $(an){n\geq 1}, (bn){n\geq 1}$ ser dos secuencia de reales positivos tales que % $ $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+an}{n}=\lim{n\to +\infty}\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}=0.$

Conjetura. Para todos los $\epsilon>0$, hay infinitamente muchos $k$s que $a_k

Creo que esto es cierto pero no puedo comprobarlo ahora.

Answer 1

Cumple con la secuencia $(c_n)$ definidas en $c_n = a_n + bn$ \lim{n\to \infty}\frac{c_1+c_2+\cdots+cn}{n}=0 $$ $$ así. Sigue que \liminf{n \to \infty $$} c_n = 0 $ y en particular, para cada $\epsilon > 0$, $$ \max(a_k, b_k) \le c_k

Answer 2

Supongamos por contradicción que existe $\varepsilon>0$ y $N \in \mathbb{N}$ tal que $c_n:=a_n+b_n\geq\varepsilon$, $n>N$. Entonces

$$ \frac{c_N+\dotsc+c_n}{n}\geq\frac{(n-N+1)} {n} \varepsilon \to \varepsilon, $$ que es una contradicción. Por lo tanto existe infinitamente muchos $k$s que $a_k,b_k<c_k></c_k>

Answer 3

Vamos a:

$$ F(n) = {\sum_{i=1}^n{a_i}\over n}\\ G(n) = {\sum_{i=1}^n{b_i}\over n} $$

Las condiciones arriba mencionadas, que $$ \lim_{n\to\infty}F(n) = \lim_{n\to\infty}G(n) = 0 $$

Deje $p(n,\epsilon)$ ser la fracción de $a_i$ que $\geq \epsilon$$i$$n$. Asimismo, $q(n,\epsilon)$ ser la fracción de $b_1 \geq \epsilon$$i \leq n$.

Derivan $F'(n,\epsilon)$ como sigue: a la vuelta de la $a_i$ a cero si $a_i < \epsilon$ o a $\epsilon$ si $a_i \geq \epsilon$. Claramente, ya que cada término de esta suma es menor o igual a la suma de $F(n)$, debe ser siempre el caso de que $$\forall \epsilon > 0: F'(n,\epsilon) \leq F(n)$$

También, es muy sencillo de calcular: $$ F'(n,\epsilon) = p(n,\epsilon) \times \epsilon $$

Por lo tanto, podemos concluir que, desde el límite de $F(n)$ es cero, por lo que también debe ser el límite de $F'(n,\epsilon)$, y desde $\epsilon$ no varía con $n$:

$$ \forall \epsilon: \lim_{n\to\infty}p(n,\epsilon) = 0$$

Por la definición de límite (y el hecho de que $1/2 > 0$), debe existir un M tal que para todo $n > M$, $p(n,\epsilon) < 1/2$.

De la misma manera por $q(n,\epsilon)$; no debe ser un $M'$ tal que para todo $n > M'$, $q(n,\epsilon) < 1/2$.

El mínimo posible superposición de los casos de $a_i < \epsilon$ $b_i < \epsilon$ es:

$$r(n,\epsilon) = 1 - p(n,\epsilon) - q(n,\epsilon)$$

Deje $T = \max(M,M')$. Claramente, para todos los $n > T$: $r(n,\epsilon) > 0$. Así, tenemos un conjunto infinito de números de los cuales una fracción positiva debe tener $a_i < \epsilon$$b_i < \epsilon$. Por lo tanto, debe haber un número infinito de tales casos.

Answer 4

Pues bien, una manera de pensar acerca de ello:

Como $\lim \frac{\sum a_i}n \to 0$$\lim \frac{\sum b_i}n \to 0$$\lim (\frac{\sum a_i}n + \frac{\sum b_i}n) \to 0+ 0 = 0$.

Y $(\frac{\sum a_i}n + (\frac{\sum a_i}n = \frac {\sum_{i=0}^n (a_i + b_i)}n$, por lo que

$\lim_{n\to \infty}(\frac{\sum a_i}n) + \lim_{n\to \infty}(\frac{\sum a_i}n) = \lim_{n\to \infty}\frac {\sum_{i=0}^n (a_i + b_i)}n =0$.

(Nota: se NO se PUEDE hacer esto con sumas que no convergen.)

Ahora para $c_i = a_i + b_i$ cualquier $\epsilon > 0$, me afirman que hay una cantidad infinita de $c_i < \epsilon$.

Por qué?

Porque si no son sólo un número finito de entonces habría un último $c_N < \epsilon$ (o no$c_i < \epsilon$) de todos los para todos los $k > N$$c_k \ge \epsilon$. Si $\sum_{i=0}^N c_i = K$$\sum_{i=0}^{n; n > N} c_i = K + \sum_{i=N+1}^n c_i \ge K + (n-N)\epsilon$.

Por lo $\frac {\sum_{i=0}^n c_i}n \ge \frac Kn + \frac (n-N){n}\epsilon = \frac Kn -\frac Nn\epsilon + \frac nn\epsilon = \frac {K-N\epsilon}n + \epsilon$.

Por lo $\lim_{n\to \infty} \frac {\sum_{i=0}^n c_i}n \ge \lim_{n\to \infty}\frac {K-N\epsilon}n + \epsilon = \epsilon > 0$.

Eso es una contradicción, por lo que hay infinitamente muchos $c_n < \epsilon.

.....

Y que decir que hay infinidad de $a_k + b_k < \epsilon$, y como cada una de las $a_k, b_k$ es positivo $a_k < a_k +b_k < \epsilon$$b_k < a_k + b_k < \epsilon$.