Una prueba alternativa para $D_2 D_1 f(x) = D_1 D_2 f(x)$ cuando $f \in C^2$

Question

En el libro de Análisis Sobre los Colectores por Munkres, en la página 103, pregunta 4-b, se le preguntó a mostrar que

$$D_2 D_1 f(x) = D_1 D_2 f(x)$$ for all $x \en$, where $A \subseteq \mathbb{R}^2 $ is open and $f\C^2(A)$.

Prueba:

Deje $Q$ ser un rectángulo en $A$, por lo que sabemos que $$\int_Q D_2 D_1 f(x) = \int_Q D_1 D_2 f(x),$$ de ahí que considere $$\int_Q |D_2 D_1 f(x) - D_1 D_2 f(x)| = $$ Puesto que la integral anterior existe, y el integrando es no negativo y la integral es cero, por un teorema, el integrando $|D_2 D_1 f(x) - D_1 D_2 f(x)|$ desaparece excepto en un conjunto de medida cero.

Ahora pretendemos que, el integrando $|D_2 D_1 f(x) - D_1 D_2 f(x)|$ se desvanece en todas partes en $Q$.

Asumir que no es el caso; a continuación, $\exists a \in Q$ s.t $|D_2 D_1 f(a) - D_1 D_2 f(a)| \not = 0$, por lo que por un lexema, existe una vecindad $U$ $a$ s.t que el integrando es todavía distinto de cero, pero que se contradice con el hecho de que el integrando se desvanece en $Q$, excepto en un conjunto de medida cero, ya que una pelota no tiene medida cero.

Así, $|D_2 D_1 f(x) - D_1 D_2 f(x)| = 0$ $\forall x \in Q$ implica $$D_2 D_1 f(x) = D_1 D_2 f(x) \quad \forall x \in Q.$$

Pregunta:

¿Hay algún error en mi prueba ? o es que hay algo que no está claro ? o ¿tienes alguna sugerencia ?

Answer 1

Hay una gran falla en la prueba:

$$\int f =0$$ doesn't imply that $% $ $\int \vert f \vert=0$, que es básicamente lo que estás usando.

Answer 2

Desde $f \in C^2(A)$, es continua la función $g =D_2D_1f - D_1D_2f$.

Elegir cualquier punto $a \in A$. Si $g(a) > 0$, entonces existe un rectángulo $Q$ tal que $g(x) > 0 $ % todo $x \in Q$y $\int_Qg > 0$, contradiciendo

$$\int_Q D_2D_1f = \int_QD_1D_2 f.$$

Hacer un argumento similar si $g(a)