Si $A$ y $B$ son eventos tales que $P(A\mid B)=P(B\mid A)$ entonces

Question

Si $A$ y $B$ son eventos tales que $P(A\mid B)=P(B\mid A)$ entonces

(A) $A \subset B$ pero $A \neq B$

(B) $A=B$

(C) $A \cap B = \emptyset $

(D) $P(A)= P(B)$

Mi intento

Se da que $P(A\mid B)=P(B\mid A)$

$ \implies \dfrac {P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) } =\dfrac {P\left( B\cap A\right) }{P\left( A\right) }$

$\implies ( P\left( A\cap B\right))(P(A)-P(B))=0$

$\implies \ either \ P(A)=P(B) \ or \ P(A\cap B)=0$

$\implies \ either \ P(A)=P(B) \ or \ A\cap B=\emptyset$

Pero la respuesta correcta es P(A)=P(B)

¿Puede alguien explicar por qué $A\cap B=\emptyset$ ¿está mal?

Answer 1

Su lógica implica, o bien $\mathbb{P}[A] = \mathbb{P}[B]$ o $\mathbb{P}[A \cap B] = 0$ . Ciertamente, si $A \cap B = \emptyset$ la segunda condición se mantiene, pero considera $A \cap B$ siendo algún evento discreto de una probabilidad continua, por lo que $A \cap B \ne \emptyset$ pero $\mathbb{P}[A\cap B] = 0$ ...

Por lo tanto, es posible (es decir, suficiente) que $A\cap B = \emptyset$ pero no es realmente necesario, y el estilo de su pregunta implica claramente una condición necesaria...

Answer 2

Puede suponer que tenemos el espacio $\Omega = [-1, 1]\times [-1, 1]$ y los eventos $A = [0, 1]\times [0, 1]$ y $B = [-1, 0]\times[-1, 0]$ . Está claro que $A\cap B = \{(0, 0)\}$ . Si se considera la probabilidad geométrica, entonces $P(A)=P(B)=1/4$ y $P(A\cap B) = 0$ y puedes ver que $A\cap B\neq \emptyset$ . Buena suerte.

Answer 3

Consideremos un experimento: Escoger un número de manera uniforme del intervalo $[0,1]$ .

Que el evento

$A =$ El número elegido es $\leq 0.5$ y

$B =$ El número elegido es $\geq 0.5$ .

Aquí $P(A \cap B) = P$ (el número elegido es .5) = 0 (propiedad de la variable aleatoria uniforme continua). Espero que este ejemplo funcione.

Answer 4

Hola Girish Kumar chandora que es un buen intento, pero que acaba de perder el punto de cerca Lo que has hecho es correcto hasta cierto punto, pero has tomado $P(AB)$ como común pero piensa en esto Si se da que $P(AB)/P(B)=P(BA)/P(A)$ Entonces el $P(AB)$ se anularía tanto en L.H.S como en R.H.S ya que ambos son iguales (regla básica en la división) Así que entonces te quedarás con $P(A)=P(B)$