Tuymaada 2015, el Día 2, el Problema 6, Senior de la Liga de los estados:
Considere la posibilidad de enteros $a,b,c,d$ tal que $0 \leq b \leq c \leq d \leq a$$a>14$. Demostrar que existe un entero positivo $n$ que no pueden ser representados como $$n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$$for any integers $x,y,z$. (K. Kohas)
La expresión puede reescribirse como
$$a(x^2 + y^2 + z^2) + bx + cy + dz = n.$$
Obviamente $gcd(a,b,c,d)$ divide $n$, por lo que si $gcd(a,b,c,d) > 1$, se puede elegir $n$ un nonmultiple de $gcd(a,b,c,d)$ y hemos terminado.
Por tanto, el problema ahora se reduce a mostrar que la si $gcd(a,b,c,d) = 1$ $(x,y,z,t)$ satisfacer $$at + bx + cy + dz = 1,$$ a continuación,$t \neq x^2 + y^2 + z^2$.
¿Cómo puedo demostrarlo? No tengo idea de donde la condición de $a > 14$ encaja en la imagen. He intentado escribir $b = \alpha, c = \alpha + \beta, d = \alpha + \beta + \gamma, a = \alpha + \beta + \gamma + \delta$ tal que $$\alpha(x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z) + \beta(x^2 + y^2 + z^2 + y + z) + \gamma(x^2 + y^2 + z^2 + z) + \delta(x^2 + y^2 + z^2) = n.$$
Ahora, la condición se convierte en $\alpha + \beta + \gamma + \delta > 14$ donde $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ son enteros $\geq 0$. Es fácil demostrar que si $gcd(a,b,c,d) = 1$$gcd(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = 1$. Yo no podía conseguir cualquier cosa de este enfoque, pero que podría ser útil.
