¿Existe una relación entre las soluciones a estas dos ecuaciones de Lyapunov matriz?

Question

Que $A \in \mathcal M(n \times n; \mathbb R)$ $\rho(A) ecuaciones de matriz de Lyapunov

\begin{align} X &= A^T X A + Q \ Y &= A Y A^T + Q \end{align}

donde se da la matriz definida positiva $Q$. Por los supuestos $A$, las soluciones han cerrado de forma

\begin{align} X &= \sum{k=0}^{\infty} (A^T)^kQA^k,\ Y &= \sum{k=0}^{\infty} A^k Q (A^T)^k \end{align}

Me pregunto si existen relaciones entre $X$y $Y$, como espectro, normas, etcetera.

Answer 1

En primer lugar, $X,Y$ no son en forma cerrada.

En segundo lugar, NO, hay no precisa entre $X,Y$ (cuando $n>1$)...

Si tenemos la pila de la fila por fila el % de matrices $X,Y,Q$vectorx $x,q$, entonces el $x=(I\otimes I-A^T\otimes A^T)^{-1}(q),y=(I\otimes I-A\otimes A)^{-1}(q)$. El % de matrices son similares a través de una matriz simétrica $U=(I\otimes I-A^T\otimes A^T)^{-1}$ $(I\otimes I-A\otimes A)^{-1}$y su transposición $S$.

Entonces tenemos igualdad en el % de forma $x=Uq,y=S^{-1}USq$, donde $S,U$ es invertible, es decir $y=S^{-1}USU^{-1}x$. Por ejemplo, $x=0$IFF $y=0$.