Integración por partes

Question

$$\int \frac{x^{2}+4x}{x+2}\,dx$$

He escrito en esta forma:

$$\int \frac{(x+2)^{2}-4}{x+2}\,dx$ $: en esta etapa tratamos de hacer la integración por las piezas, que me pone a:

$$\frac{x^{2}}{2}+2x-4\ln\left | {x+2} \right |$$

pero es malo por alguna razón. La respuesta correcta es: $$\frac{x^{2}+4x+4}{2}-4\ln\left | x+2 \right |$ $

¿Donde estoy equivocado?

Answer 1

Olvidó la constante de integración. Tu respuesta difiere de la dada por una constante.

Answer 2

Nota que tenemos $$\frac{x^2+4x+4}2-4\ln|x+2|+C=\frac{x^2}2+2x\color{red}{+2}-4\ln|x+2|+C$$ and this is the same as your expression if we let $ C_1 = C +2$!

Forma más rápida: $$\int \frac{(x+2)^{2}-4}{x+2}\,dx=\int\left[x+2-\frac4{x+2}\right]\,dx=\frac{x^2}2+2x-4\ln|x+2|\color{blue}{+C}.$ $

Answer 3

También, debe ser $$\frac{x^{2}+4x+4}{2}-4\ln\left | x+2 \right |+C_1=\frac{x^{2}+4x+4}{2}-4\ln(x+2)+C_1$$ for $x > -2$ y $$\frac{x^{2}+4x+4}{2}-4\ln\left | x+2 \right |+C_2=\frac{x^{2}+4x+4}{2}-4\ln(-x-2)+C_2$$ for $x #

Answer 4

En lugar de integración por partes puede utilizar $u$ de sustitución que es fácil.

$u=x+2$ que da $ #% de $$\int\frac{u^2-4}{u}du=\frac{u^2}{2}-4\ln|u|+C$% #% $ $$=\frac{(x+2)^2}{2}-4\ln|x+2|+C$ $