Una secuencia anidada estrictamente decreciente de subconjuntos compactos no vacíos de S tiene una intersección no vacía con interior vacío.

Question

S es un espacio topológico de Hausdorff. Una secuencia anidada decreciente de subconjuntos compactos no vacíos de S tiene una intersección no vacía. En otras palabras, suponiendo $C_{k}$ es una secuencia de subconjuntos no vacíos y compactos de un topológico sabemos que $\cap_{k\in N}C_{k}\not= \emptyset$

Si asumo que la secuencia es estrictamente decreciente $C_{k+1} \subset C_{k}$ puedo decir lo siguiente

$Int(\cap_{k\in N}C_{k})= \emptyset$ ?

comentario: En mi opinión $C_{k+1} \subset C_{k}$ no implica que los diámetros de $C_{k}$ son estrictamente decrecientes.

¿Alguna prueba sencilla? Gracias.

Answer 1

Considere la siguiente intersección \begin {Ecuación} \overset { \infty }{ \underset {n=1}{ \bigcap }} \left [-1- \frac {1}{n}, 1+ \frac {1}{n} \right ]=[-1,1]. \end {Ecuación}

Obsérvese que dado $k \in \mathbb{N}$ tenemos $\left[-1-\frac{1}{k}, 1+\frac{1}{k} \right] \supset \left[-1-\frac{1}{k+1}, 1+\frac{1}{k+1} \right]$ pero $\text{Int}([-1,1])=(-1,1).$