¿Qué se entiende por un tiempo continuo proceso de ruido blanco?

Question

¿Qué se entiende por un tiempo continuo proceso de ruido blanco?

En una discusión que siguió a la pregunta de un par de meses, me dijo que como ingeniero, estoy acostumbrado a pensar de un tiempo continuo, de gran sentido estacionaria proceso de ruido blanco $\{X(t) \colon -\infty &lt t &lt \infty\}$ como un cero significa que el proceso de tener la función de autocorrelación $R_X(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$ donde $\delta(\tau)$ es la delta de Dirac o impulso, y la densidad espectral de potencia $S_X(f) = \sigma^2, -\infty &lt f &lt \infty$. En ese momento, varias personas con reputación muy alta en las Matemáticas.SE me aseguró que este era excesivamente restrictiva de la noción, y que no surjan dificultades si uno toma la función de autocorrelación para ser $$E[X(t)X(t+\tau)] = \begin{cases}\sigma^2, & \tau = 0,\\ 0, & \tau \neq 0. \end{casos}$$

Lo que los ingenieros como para llamar a un ruido blanco es un proceso hipotético bestia que nunca se observa directamente en cualquier sistema físico, pero que puede ser utilizado para dar cuenta de el hecho de que la salida de un lineal invariante en el tiempo de un sistema cuya de entrada es el ruido térmico es bien modelada por un gran sentido estacionaria Gauss proceso cuya densidad espectral de potencia es proporcional a $|H(f)|^2$ donde $H(f)$ es la función de transferencia del lineal sistema. Estándar de segundo orden aleatorio de la teoría de proceso dice que la potencia de entrada y salida densidades espectrales $S_X(f)$ nd $S_Y(f)$ están relacionadas como $$S_Y(f) = S_X(f)|H(f)|^2.$$ Por lo tanto, pretender que el ruido térmico es un blanco Gaussiano de ruido en el proceso de ingeniería sentido y pretender que los de segundo orden, la teoría de la se extiende a los procesos de ruido blanco (incluso a pesar de que su varianza es no finito) nos permite llegar al resultado de que la potencia de salida la densidad espectral es proporcional a $|H(f)|^2$.

Mi consulta acerca de la definición de un proceso de ruido blanco es ocasionada por una más reciente de la cuestión con respecto a la varianza de una variable aleatoria $Y$ se define como $$Y = \int_0^T h(t)X(t)\ \mathrm dt$$ donde $\{X(t)\}$ es un blanco de ruido Gaussiano proceso. La respuesta dada por Nate Eldredge conduce a $$\operatorname{var}(Y) = \sigma^2 \int_0^T |h(t)|^2\ \mathrm dt$$ (como he señalado en un comentario en la respuesta) si la autocorrelación la función es $R_X(\tau) = \sigma^2\delta(\tau)$ (la definición de ingeniería). Sin embargo, el OP en esa pregunta especificado $R_X(0) = \sigma^2$, no $\sigma^2\delta(\tau)$, es decir, la definición aceptada por los matemáticos. Para esta función de autocorrelación, la varianza es $$\int_0^T \int_0^T E[X(t)X(s)]h(t)h(s)\mathrm dt\mathrm ds = 0$$ puesto que el integrando es distinto de cero sólo en un conjunto de medida $0$.

Así que, ¿cuál es la varianza de la variable aleatoria $Y$? y lo que ¿los lectores de Matemáticas.SE entiende por la frase proceso de ruido blanco?

Tal vez esta pregunta debe ser convertido a un wiki de la Comunidad?

Answer 1

Este es un poco tarde, pero veo que los principales puntos en esta pregunta no han sido resueltos. Me voy a fijar \begin{equation} \sigma = 1 \end{equation} para esta respuesta.

La definición de ruido blanco puede ser dependiente del contexto: ¿Cómo se definen depende de lo que quieras hacer con ella. No hay nada inherentemente malo en decir que el ruido blanco (indexados por un conjunto $T$) es sólo el proceso de iid normal estándar variables aleatorias indexadas por $T$, es decir, $E[X(t)X(s)] = \begin{cases} 1 & t = s \\ 0 & t \neq s \end{cases}.$ sin Embargo, como el cardenal señaló aquí, por Ejemplo 1.2.5 de Kallianpur del texto muestra que este proceso no es medible (como una función de la $(t, \omega)$). Esta es la razón, como lo Hizo comentado anteriormente, $Y$ es indefinido (con esta definición de $X$). Por lo tanto, esta definición de ruido blanco no es apropiado para la definición de los objetos, como la $Y$.

Más bien, desea $Y$ tener covarianza dada por la delta de Dirac. Pero el $\delta$ función no es una función sino una medida y el mejor contexto para la comprensión es la teoría de las distribuciones (o funciones generales---estos no deben confundirse con las "distribuciones de probabilidad"). Asimismo, el contexto apropiado para el ruido blanco es la teoría de distribuciones aleatorias.

Vamos a calentar con una heurística explicación: vamos a pensar en el ruido blanco como el "derivado" de movimiento Browniano: "$dB_t/dt = X_t$". Así que ignorando rigor por un momento, podríamos escribir \begin{equation} \int_0^T h(t) X(t) dt = \int_0^T h(t) \frac{dB_t}{dt} dt = \int_0^T h(t) dB_t. \end{equation}

La razón de esto no es riguroso, es que el movimiento Browniano es diferenciable. Sin embargo, la teoría de distribuciones que nos permite "diferenciar" no-funciones diferenciables. Primero de todo, una distribución es un funcional lineal (lineal mapa toma los valores de los números reales) en un espacio de "funciones de prueba" (generalmente suave funciones de soporte compacto). Una función continua $F$ puede ser visto como una distribución a través de la vinculación \begin{equation} (F, f) = \int_0^\infty F(t) f(t) dt. \end{equation} La distribución de derivados de $F$ es la distribución de $F'$ cuya vinculación con una función de prueba de $f$ está definido por \begin{equation} (F', f) = -(F, f'). \end{equation}

Pensando en el movimiento Browniano como una función aleatoria, podemos definir el ruido blanco $X$ como su distributivo de derivados. Por lo tanto, $X$ es una distribución aleatoria cuya vinculación con una función de prueba de $f$ es la variable aleatoria \begin{equation} (X, f) = -(B, f') = -\int_0^\infty B(t) f'(t) dt. \end{equation} Por estocástica de la integración por partes, \begin{equation} (X, f) = \int_0^\infty f(t) dB_t; \end{equation} esta es la integral de Itô de $f$ con respecto al $B$.

Ahora es un hecho bien conocido en el cálculo estocástico es que $M_T = \int_0^T f(t) dB_t$ es una martingala de partida en $M_0 = 0$, lo $E (X, f) = 0$. Por otra parte, por la Itô isometría, \begin{equation} \mathrm{Var}((X, f)) = E (X, f)^2 = \int_0^\infty f(t)^2 dt. \end{equation} También puede comprobarse que $(X, f)$ es Gaussiano.

Mi punto principal es que una más adecuada definición de $Y$ podría ser \begin{equation} Y = \int_0^T h(t) dB_t. \end{equation}

Como última nota, porque de la manera que $X$ se ha definido anteriormente, $X_t$ no está definido, pero $(X, f)$ es. Es decir, $X$ es un proceso estocástico, pero cuyo conjunto de índice está dado por $T = \{ \text{test functions} \}$ en lugar de $T = [0, \infty)$. Por otra parte, de nuevo por el Itô isometría, \begin{equation} E (X, f) (X, g) = \int_0^\infty f(t) g(t) dt. \end{equation} Abandonar el rigor de nuevo, esto se convierte en \begin{equation} E (X, f) (X, g) = \int_0^\infty \int_0^\infty f(s) \delta(s - t) g(t) ds dt \end{equation} y es en este sentido que la covarianza de $X$ es la delta de Dirac.

Answer 2

En realidad, X es la señal digital y y es el promedio de la señal analógica de la energía generada en el dominio del tiempo. La varianza se muestra cómo la desviación ocurre si la señal Y pasa por un largo tiempo.

Por otra parte, usted debe aprender más acerca de la función delta (su función se convierte en uno si x = 0 ) . La ingeniería y los aspectos matemáticos para explicar la función de autocorrelación también son correctas. No hay contracdiction entre ellos.