¿Existe una notación estándar para el operador de precomposición?

Question

Dejemos que $X_1$ , $X_2$ y $V$ ser conjuntos. ¿Existe un nombre y una notación estándar para el operador de precomposición $F$ que toma como entrada una función $\varphi:X_2^{X_1}$ y devuelve el operador $F_{\varphi}:V^{X_2}\rightarrow V^{X_1}$ que asigna para cada función $f:V^{X_2}$ la función $F_{\varphi}(f)\in V^{X_1}$ definido por $$ F_{\varphi}(f) := f\circ\varphi $$

¿Es esto lo que se entiende por el término retroceso ¿en la teoría de las categorías? Y, de nuevo, ¿existe una notación estándar para designar $F$ , dado $X_1$ , $X_2$ y $V$ ?

Answer 1

En la teoría de las categorías, esto se denotaría $\mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(-,V)$ o simplemente $\mathbf{Set}(-,V)$ . Se llama "homfunctor contravariante". Eso tiene sentido; dada una función $$f : X_1 \rightarrow X_2,$$ obtenemos una función correspondiente $$\mathbf{Set}(f,V) : \mathbf{Set}(X_2,V) \rightarrow \mathbf{Set}(X_1,V)$$ ir "por el otro lado", definido por $$\mathbf{Set}(f,V)(g) = g \circ f.$$