Integración de una forma diferenciada

Question

Estoy pasando actualmente a través de la Introducción de Suavizar los colectores por John Lee y estoy un poco confundido con la integración de formas diferenciales.

Por lo tanto, dado un suave k-formulario de $\omega = f dx^1 \wedge ... \wedge dx^k $ en algunos integral de dominio $D \subset \mathbb{R}^k$ podemos integrar a $\omega$$D$, que se da en el libro de $$\int_D f dx^1 \wedge ... \wedge dx^k = \int_D f dx^1 ... dx^k \, \, \, \, \, \, (\star)$$

Lo que yo estoy confundido acerca de que si que el intercambio de decir el $dx^1$ e las $dx^2$ en ambos lados de la ecuación obtenemos un lado negativo que surja en la izquierda de la $dx^1 \wedge dx^2 = - dx^2 \wedge dx^1$, mientras que en el lado derecho no habrá ningún signo, el factor de $dx^1 dx^2 =dx^2 dx^1$.

Es la razón de que la anterior no es una contradicción como un resultado del hecho de que hemos fijado una orientación $(x^1, ..., x^k)$, y así, con esta orientación, tenemos que $(\star)$ tiene pero $$\int_D f dx^2 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^k \neq \int_D f dx^2 dx^1 dx^3 ... dx^k?$$

Es decir, sólo podemos integrar una vez que hemos adquirido el diferencial de la forma en que ha elegido la orientación?

Answer 1

Su fórmula se debe escribir $$\int_D f(x)> dx^1 \wedge ... \wedge dx^k = \int_D f(x)>{\rm d}(x)\ , \tag{$\star$}$$ en la medida en la mano derecha lado no significó un producto de diferenciales de orden primera de cualquier tipo, pero la integración con respecto a la norma y en particular: orientación independiente, Lebesgue medida en ${\mathbb R}^k$. La fórmula $(\star)$ por otro lado implica una elección de orientación: dice que la differring de productos por una permutación uniforme de $dx^1 \wedge ... \wedge dx^k$ son consideradas positivas, es decir, en consonancia con la medida de Lebesgue.