¿Cuál es la ecuación para producir esta curva de Bézier?

Question

¿Cuál es la ecuación de la primera curva de la imagen?

Tengo esta fórmula:

Pero cuando sustituyo los valores, obtengo una imagen que parece x^2. No tiene la misma forma que la imagen.

Answer 1

Los tres puntos $P_0,P_1,P_2$ son los puntos de control del segmento de Bézier cuadrático. En las imágenes, estos puntos están conectados con líneas rectas. $P_0$ y $P_2$ son los puntos finales de la curva, $P_1$ (marcado con $\times$ ) no suele estar en la curva. La fórmula \begin{align} B(t)&=(1-t)^2P_0+2(1-t)tP_1+t^2P_2 ,\quad t\in[0,1] \end{align}
es paramétrico, es decir, hay dos expresiones en términos de parámetro $t$ , que definen $x(t)$ y $y(t)$ :

Ejemplo $a=3$ : \begin{align} B_x(t)&=(1-t)^2P_{0x}+2(1-t)tP_{1x}+t^2P_{2x} ,\\ B_y(t)&=(1-t)^2P_{0y}+2(1-t)tP_{1y}+t^2P_{2y} . \end{align}

Así pues, para la primera imagen podemos suponer que los puntos de control son

\begin{align} P_0&=(0,a),\quad P_1=(0,0),\quad P_2=(a,0), \end{align}

y para el segundo

\begin{align} P_0&=(a,a),\quad P_1=(0,0),\quad P_2=(a,0) \end{align}

para alguna constante $a$ .

Obsérvese que las coordenadas de los puntos son completamente independientes del rango paramétrico $[0,1]$ .

Las dos imágenes demuestran cómo cambia la curva cuando sólo se mueve un extremo.

Ejemplo $a=3$ :

Las líneas tangentes en el imágenes ilustran el proceso de construcción de los puntos de una curva de Bézier cuadrática mediante los puntos de los segmentos lineales de Bezier:

1. Conexión de los puntos de control $P_0-P_1-P_2$ , creamos dos segmentos lineales de Bézier: $P_0P_1$ con puntos de control $P_0$ y $P_1$ , y $P_1P_2$ con puntos de control $P_1$ y $P_0$ ,

2. Para cualquier $t\in[0,1]$ encontrar puntos $u_t,v_t$ en los segmentos de línea $P_0P_1$ y $P_1P_2$

\begin{align} u_t&=P_0(1-t)+P_1(t) ,\\ v_t&=P_1(1-t)+P_2(t) . \end{align}

A continuación, encuentre el punto $w_t$ en el segmento lineal de Bézier $u_tv_t$ con puntos de control $u_t$ y $v_t$ ,

\begin{align} w_t&=u_t(1-t)+v_t t , \end{align}

y el punto $w_t$ es el punto de la curva cuadrática de Bézier.

Answer 2

En la imagen, la curva parece ser la envolvente de las líneas cuyo $x$ y $y$ intercepciones se suman a $1$ . Estas líneas vienen dadas por

$$ y=y_0\left(1-\frac x{1-y_0}\right)\;, $$

donde $y_0$ es el $y$ interceptar.

La envoltura maximiza $y$ con respecto a $y_0$ para $x$ . Fijando la derivada de $y$ con respecto a $y_0$ a cero produce

$$ 1-\frac x{1-y_0}-\frac{y_0x}{(1-y_0)^2}=0 $$

y así $y_0=1-\sqrt x$ . Sustituyendo esto en la ecuación de las líneas se obtiene $y=\left(1-\sqrt x\right)^2$ o de forma más manifiestamente simétrica,

$$ \sqrt x+\sqrt y=1\;. $$

También se puede escribir paramétricamente como $(x,y)=(\sin^4 t,\cos^4 t)$ .

Answer 3

Uso de la notación vectorial $[x,y]^T$ : Primero tenemos que escribir los puntos: $$P_0 = [0,1]^T, P_1 = [0,0]^T, P_2 = [1,0]^T$$ Ahora, la fórmula: $$B(t) = (1-t)^2[0,1]^T + (1-t)t[0,0]^T + t^2[1,0]^T = ...\\ [t^2,(1-t)^2]^T$$

Así que es cierto que se obtienen funciones cuadráticas, pero las funciones cuadráticas están en ambos $x$ y $y$ coordenadas.

$$x = t^2, y = 1-2t+t^2$$ y luego sustituir $x=\sqrt{t}$ basado en nuestro intervalo $x\in[0,1]$ que pertenece a los números reales positivos,

$$y = 1-2\sqrt{x}+x$$

Puede comprobarlo con esto Gráfico Wolfram alpha .