Si $p$ es el primer y $n$ es un entero positivo, demostrar que el GL$_n(\mathbb{F}_p)$ contiene un elemento de orden $p^n-1$.
Estoy un poco atascado en cómo empezar a trabajar en este problema. La encontré en la teoría de Galois sección en una lista de los últimos exámenes de calificación, por lo que supongo que algún tipo de teoría de Galois deben participar, pero me parece que no puede llegar a ninguna parte con él. Sé que $\mathbb{F}_{p^n}$ $\mathbb{F}_p^n$ son isomorfos como $\mathbb{F}_p$ espacios vectoriales, por lo $Gal(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ es isomorfo a un subgrupo cíclico de GL$_n(\mathbb{F}_p)$ orden $n$, aunque esto no parece demasiado útil (pero tal vez me equivoque!). Mi única otra idea en este punto es tratar de encontrar algo de $\mathbb{F}_p$-transformación lineal $T$ $\mathbb{F}_{p^n}$ con polinomio característico $x^{p^n-1}-1$ y, a continuación, el uso de Cayley-Hamilton para conseguir ese $T$ ha pedido dividiendo $p^n-1$, y esperemos que la definición de $T$ (cualquiera que sea) de que el orden no puede ser inferior a $p^n-1$. ¿Puede alguien ver una más, de forma inteligente para atacar este problema?
