Variación de una secuencia de golpes

Question

He estado estudiando Las secuencias de la batidora últimamente, y, habiendo leído y entendido una prueba del teorema de Raleigh, sé que si $ \lfloor \alpha x \rfloor $ es una secuencia Beatty con $ \alpha\gt 1$ entonces su secuencia Beatty complementaria es $ \lfloor \beta x \rfloor $ donde $$ \frac {1}{ \alpha }+ \frac {1}{ \beta }=1$$ Sin embargo, estoy teniendo un poco de problemas con lo siguiente: como una generalización de la secuencia Beatty $ \lfloor \phi n \rfloor $ Estoy considerando una secuencia similar $ \lfloor \phi n-1/3 \rfloor $ y tratando de encontrar su complemento en los números naturales. Creo que su complemento es $ \lfloor ( \phi +1)n+2/3 \rfloor $ pero el método de prueba usado para el teorema de Beatty no funciona en este caso. Utilicé la segunda prueba proporcionada aquí .

EDITAR: Mi conjetura es falsa (ver comentarios), pero aún así me gustaría encontrar el complemento de la secuencia originalmente mencionada.

¿Alguien sabe cómo encontrar el complemento de la siguiente secuencia? $$\{ \lfloor \phi n-1/3 \rfloor\ }_{n=1}^ \infty $$

Answer 1

dibujar una línea $y = kx + r$ para $r \in (0;1)$ y $k > 0$ que no pasa por ningún punto con coordenadas enteras.

A partir de $(0,r)$ esa línea intersectará las líneas horizontales $x=n$ y líneas verticales $y=n$ uno a la vez (nunca puede cruzar dos a la vez ya que lo dije explícitamente)

Dando un número a cada cruce que comienza con $0$ para la línea vertical $x=0$ puede definir dos funciones $h(n)$ y $v(n)$ de tal manera que $h(n)$ es el número de la travesía que cruza la línea $y=n$ y de manera similar para $h(n)$ y líneas horizontales.

Ahora, ¿qué es $v(n)$ ? Es $n$ más el número de líneas horizontales que se cruzaron al llegar a la línea vertical $x=n$ . Poniendo $x=n$ y resolviendo para $y$ que la línea $x=n$ se cruza en $(x = n, y=kn+r)$ . Por lo tanto, $v(n) = n + \lfloor kn + r \rfloor = \lfloor (k+1)n+r \rfloor $

De manera similar para $h(n)$ poniendo $y=n$ y resolviendo para $x$ ya entiendes el punto $(x = \frac {n-r}k, y=n)$ y así $h(n) = n + \lfloor\frac {n-r}k \rfloor = \lfloor \frac {(k+1)n-r}k \rfloor $

Ahora por construcción las secuencias $(h(n))_{n \ge 1}$ y $(v(n))_{n \ge 1}$ son una partición de $\{1;2;3; \cdots\ }$

---

Para tu problema te gustaría tener $(k+1)/k = \phi $ y $r/k = 1/3$ así que $k = \phi $ y $r = \phi /3$ .

La línea es $y = \phi x + ( \phi /3)$ o $y/ \phi = x + 1/3$ y no puede pasar por ningún punto entero (o si no $ \phi $ sería racional), por lo que se aplica la sección anterior:

$h(n) = \lfloor \phi n - \frac 13 \rfloor $ y $v(n) = \lfloor ( \phi +1)n + \phi /3 \rfloor $ dar una partición de $ \Bbb N$ .

Así que tu respuesta es $ \lfloor ( \phi +1)n + \phi /3 \rfloor $ en lugar de $ \lfloor ( \phi +1)n + 2/3 \rfloor $

Answer 2

Para que la prueba de Wikipedia funcione, los turnos tienen que cancelarse. Si indicamos su turno de $ \frac13 $ por $ \delta $ y el desplazamiento desconocido de la secuencia complementaria por $ \epsilon $ las desigualdades en la prueba se convierten

$$ j < k \cdot r - \delta < j + 1 \text { and } j < m \cdot s + \epsilon < j + 1\;, $$

y luego dividiendo a través de $r$ y $s$ respectivamente, y agregando como en la prueba ordinaria se obtiene

$$ j < k - \frac\delta r + m + \frac\epsilon s< j + 1\;. $$

Así que para que la prueba pase, necesitas $ \frac\epsilon s- \frac\delta r \in\mathbb Z$ . Así, dado $ \delta $ tienes que elegir

$$ \epsilon =ks+ \delta\cdot\frac sr\; \text { with }\;k \in\mathbb Z\;.$$

En tu caso, con $ \delta\cdot\frac sr= \frac\phi3 $ la elección más simple es $ \epsilon = \frac\phi3 $ para obtener la secuencia complementaria $ \lfloor ( \phi +1)n+ \phi /3 \rfloor $ .